山东省威海市乳山市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $9 - a^{2} = (3 + a) (3 - a)$ B、 $x^{2} - 2 x = (x^{2} - x) - x$ C、 $x + 2 = x (1 + \frac{2}{x})$ D、 $y (y - 2) = y^{2} - 2 y$

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2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{- x + y}{x - y}$ = －1 B、 $\frac{x}{y}$ = $\frac{x + 1}{y + 1}$ C、 $\frac{x}{x + y} = \frac{1}{1 + y}$ D、 ${(- \frac{3 x}{y})}^{2} = \frac{3 x^{2}}{y^{2}}$

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C E ⊥ A B$ ， $E$ 为垂足，如果 $∠ A = 120 °$ ，那么 $∠ B C E$ 的度数是（）

A、80° B、30° C、40° D、50°

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5. 学完分式运算后，老师出了一道题“计算： $\frac{x + 3}{x + 2} + \frac{2 - x}{x^{2} - 4}$ ”.
小明的做法：原式 $= \frac{(x + 3) (x - 2)}{x^{2} - 4} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + x - 6 - x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 8}{x^{2} - 4}$ ；

小亮的做法：原式 $= (x + 3) (x - 2) + (2 - x) = x^{2} + x - 6 + 2 - x = x^{2} - 4$ ；

小芳的做法：原式 $= \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x + 3 - 1}{x + 2} = 1$ ．

其中正确的是（）

A、小明 B、小亮 C、小芳 D、没有正确的

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6. 在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）

A、平均状态 B、分布规律 C、波动大小 D、极差

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7. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（　　）

A、八边形 B、九边形 C、十边形 D、十二边形

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8. 如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）

A、2a+b B、4a+b C、a+2b D、a+3b

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9. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$ ，则 $\frac{7 a b + 2 a - 2 b}{a - 2 a b - b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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10. 已知 $△ A B C$ 的面积为36，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 平移到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使 $B^{'}$ 和 $C$ 重合，连接 $A C^{'}$ 交 $A^{'} C$ 于 $D$ ，则 $△ C^{'} D C$ 的面积为（）

A、10 B、14 C、18 D、24

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二、填空题

11. 与 $C D$ 不平行， $M$ ， $N$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点， $A B = 4$ ， $D C = 2$ ．对于 $M N$ 的长，给出了四种猜测：

① $M N = 4$ ；② $M N = 3$ ；③ $M N = 2$ ；④ $M N = 1$ ．猜测错误的是

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12. （知识衔接）
⑴长方形的对角线相等且互相平分；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（问题解决）如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 2 A D$ ， $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $F$ 为 $D C$ 的中点，连结 $E F$ ， $B F$ ．下列结论：

① $∠ A B C = 2 ∠ A B F$ ；② $E F = B F$ ；③S_{四边形DEBC} $= 2 S_{△ E F B}$ ；④ $∠ C F E = 4 ∠ D E F$ ．正确的是

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13. 分解因式： $4 m a^{2} - m b^{2} =$ ．

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14. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 值为零.

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15. 已知一组数据从小到大排列为： $- 1$ ，0，4， $x$ ，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是．

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16. 科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了米．

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17. 如图， $Δ O D C$ 是由 $Δ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $40 °$ 后得到的图形，若点 $D$ 恰好落在 $A B$ 上，且 $∠ A O C = 105 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ ． $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的动点，且 $D E = 5$ ．连接 $D N$ ， $E M$ ，则图中阴影部分的面积和为．

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三、解答题

19. 化简： $(1 - \frac{2}{m - 2}) \div \frac{m^{2} - 3 m - 4}{m^{2} - 2 m}$ ．

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20.

(1)、因式分解： $8 a^{3} - 6 a^{2} - 2 a$ ；

(2)、利用因式分解进行计算： $\frac{2022^{3} - 2 \times 2022^{2} - 2020}{2022^{3} + 2022^{2} - 2023}$ ．

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21. 如图

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向 $△ A B C$ 外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、如图②，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向 $△ A B C$ 外作正 $n$ 边形 $A B ... D$ 和正 $n$ 边形 $A C ... E$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，直接写出 $∠ B O C$ 的度数：．

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22. 如图，点 $E$ 是等边△ $A B C$ 内一点， $E A = \sqrt{3}$ ， $E C = \sqrt{2}$ ， $E B = 1$ ．求 $∠ B E C$ 的度数．

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23. （建构模型）
对于两个不等的非零实数 $a$ ， $b$ ，若分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则 $x = a$ 或 $x = b$ ．因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以，关于 $x$ 的方程 $x + \frac{a b}{x} = a + b$ 的两个解分别为： $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．

（应用模型）

利用上面建构的模型，解决下列问题：

(1)、若方程 $x + \frac{p}{x} = q$ 的两个解分别为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 4$ ．则 $p =$ ， $q =$ ；（直接写结论）

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $2 x + \frac{n^{2} + n - 2}{2 x + 1} = 2 n$ 的两个解分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．求 $\frac{2 x_{1}}{2 x_{2} - 3}$ 的值．

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24. 如图，点 $E$ 在 $▱ A B C D$ 外，连接 $B E$ ， $D E$ ，延长 $A C$ 交 $D E$ 于 $F$ ， $F$ 为 $D E$ 的中点．

(1)、求证： $A F // B E$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $∠ A C D = 90 °$ ， $A C = 2 C F$ ，求 $B E$ 的长．

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25. 如图Ⅰ， $△ A B D$ 和 $△ A N E$ 是等腰直角三角形，点 $N$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上， $A B = A D$ ， $A N = A E$ ， $∠ B A D = ∠ N A E = 90 °$ ．

(1)、将图Ⅰ中的 $△ A N E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转定角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到图Ⅱ，连接 $D E$ ， $B N$ ， $B E$ ．求证： $D E ⊥ B N$ ；

(2)、在（1）的条件下， $A B$ 长为 $\sqrt{5}$ ， $A E$ 长为 $x (0 < x < \sqrt{5})$ ．当 $△ B E N$ 是以 $E N$ 为腰的等腰直角三角形时，求 $E B$ 的长度．

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