河南省商丘市柘城县2021年数学中考毕业会考试卷

试卷更新日期：2021-11-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在数轴上，点 $A$ 表示的数为 $- \sqrt{2}$ ，则下列各数在数轴上对应的点在点 $A$ 的左侧的是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为 $7140 m^{2}$ ，则FAST的反射面积总面积约为

A、 $7.14 \times 10^{3} m^{2}$ B、 $7.14 \times 10^{4} m^{2}$ C、 $2.5 \times 10^{5} m^{2}$ D、 $2.5 \times 10^{6} m^{2}$

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3.
下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $2 m n^{2} \div 4 m n = 2 n$ B、 $(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) = {(2 \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 10$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 ${(\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = 11$

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5. 如图，直线 $M N // P Q$ ，等腰直角三角板 $A B C$ 的底角顶点 $A$ 落在 $P Q$ 上，直角顶点 $C$ 落在 $M N$ 上，若 $∠ B C M = 10 °$ ，则 $∠ P A B$ 的度数为（）

A、70° B、65° C、60° D、55°

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6. 某校在八年级成立了书法、绘画、体育、歌舞手工五个兴趣小组，每位学生只能参加一个兴趣小组，学生会对学生参加情况进行了问卷调查，并初步绘制了扇形统计图（如图），但图中未显示歌舞和手工部分，请你根据图中信息判断参加歌舞兴趣小组的学生人数一定不可能是（）

A、50人 B、100人 C、130人 D、200人

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7. 对于任意的实数 $m$ 和 $n$ ，定义一种运算 $m ※ n = m n - m - n + 2$ ，例如： $2 ※ 3 = 2 \times 3 - 2 - 3 + 2 = 3$ .根据上述定义，不等式组 ${\begin{array}{l} 2 ※ x \geq 3 \\ x ※ \frac{1}{2} \leq 2 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别是 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ， $C (- 2 ， - 1)$ ，再找一点 $D$ ，使它与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 构成的四边形是平行四边形，则点 $D$ 的坐标不可能是（）

A、 $(- 4 ， 2)$ B、 $(0 ， - 4)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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10. 如图，以矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ；再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ；作射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ .若 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | =$ .

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12. 已知命题“对于正整数a，关于 x 的一元二次方程ax²-4x+1=0 没有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是a=.

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13. 已知点P（a，b）在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ，以 $A B$ 直径作圆， $P$ 为 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为.

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15. 如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处.当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为.

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三、解答题

16. 下面是同学进行分式化简求值的过程，请认真阅读并完成相应任务.
先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}) \div \frac{x}{x + 3}$ ，其中 $x = 2 \cos 30 °$

$(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}) \div \frac{x}{x + 3}$

$= [\frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}] \div \frac{x}{x + 3}$ …第一步

$= [\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}] \div \frac{x}{x + 3}$ …第二步

$= [\frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}] \div \frac{x}{x + 3}$ …第三步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x}$ …第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x}$ …第五步

$= - \frac{5}{2 x}$ …第六步

把 $x = 2 \cos 30 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ 代入上式得

原式 $= - \frac{5}{2 \sqrt{3}} = - \frac{5 \sqrt{3}}{6}$

任务一：填空：①以上化简步骤中，第 ▲ 步是进行分式的通分，通分的依据是 ▲ ；

②第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误原因是 ▲ ；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，然后再求值计算.

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就分式的化简求值时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

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17. 2020年初，一场突如其来的疫情肆虐全国，为响应“停课不停学”的号召，某校采用“钉钉”和“腾讯会议”平台给学生授课，为了解这两个平台的实用性，学校组织全校学生对这两个平台进行打分（打分为整数，最低1分，最高5分），随机抽取20名学生的打分情况：
钉钉：5 4 5 1 4 2 5 3 4 1 1 3 5 4 2 4 4 3 2 5

腾讯会议：4 1 1 3 5 5 2 4 5 2 2 5 5 5 5 1 3 2 5 2

经整理，描述数据绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和统计表.

平台

平均数

众数

中位数

钉钉

$m$

4

$a$

腾讯会议

3.35

$c$

$b$

分析数据、推断结论，请完成下列问题：

(1)、请补全频数分布直方图；

(2)、直接写出 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(3)、在求这20名学生给钉钉打分的平均数 $m$ 时，某同学是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是 $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{n}$ ；

第二步：此问题中， $n = 5$ ， $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ， $x_{3} = 3$ ， $x_{4} = 4$ ， $x_{5} = 5$ ；

第三步： $m = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ .

①某同学的分析是不正确的，他错在第几步?

②请你帮他计算出 $m$ 的值.

(4)、你认为学生更喜欢的平台是（填“钉钉”或“腾讯会议”），理由是.

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18. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
几何定论，是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长、定角、定比、定积等），或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点、定线、定方向等）如图①，点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一点，过点 $A$ 为 $⊙ O$ 作直线与 $⊙ O$ 相交于点 $B$ ， $C$ ，点 $B^{'}$ 为点 $B$ 关于 $O A$ 的对称点，连接 $B^{'} C$ 交 $O A$ 于点 $M$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ .

如图②，当过点 $A$ 的直线与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ ， $C$ 重合，可得 $R^{2} = O A \cdot O M$ .

如图③，当过点 $A$ 的直线与 $⊙ O$ 相交时，证明 $R^{2} = O A \cdot O M$ .

证明：如图③，连接OC、CD.

∵ $B^{'}$ 、 $B$ 关于 $O A$ 对称，

∴ $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{B D^{'}}$ .

∴∠1＝∠2 .（依据）

…

任务：

(1)、上述证明过程中的依据是；

(2)、根据以上的证明提示，完成上述证明过程；

(3)、如图③，若 $O A = 5$ ， $O M = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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19. 在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

(1)、求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

(2)、求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3， $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7）

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20. 参照学习函数的过程方法，探究函数

y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)

的图象与性质，因为

y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}

，即

y = - \frac{2}{x} + 1

，所以我们对比函数

y = - \frac{2}{x}

来探究列表：

$x$	…	-4	-3	-2	-1	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
$y = - \frac{2}{x}$	…	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	-4	-2	-1	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	…
$y = \frac{x - 2}{x}$	…	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	-3	-2	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	…

描点：在平面直角坐标系中以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：

(1)、请把

y

轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；

(2)、观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；（“增大”或“减小”）

② $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向平移个单位而得到的；

③图象关于点中心对称.（填点的坐标）

(3)、函数

y = \frac{x - 2}{x}

与直线

y = - 2 x + 1

交于点

A

，

B

，求

Δ A O B

的面积.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0 ， 2)$ 和 $B (1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知点 $C$ 与点 $A$ 关于此抛物线的对称轴对称，求点 $C$ 的坐标；

(3)、点 $D$ 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点 $A$ ， $D$ 之间的部分（含点 $A$ ， $D$ ）为图象 $G$ ，若图象 $G$ 向下平移 $t$ $(t > 0)$ 个单位后与直线 $B C$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围.

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22. 问题情景：已知等腰直角三角形 $A B C$ 和等腰直角三角形 $A E D$ ， $∠ A E D = ∠ A C B = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $D B$ ， $E C$ 的中点，连接 $M N$ .

(1)、大胆猜想：
如图（1），当点 $E$ 在 $A B$ 上，且点 $C$ 和点 $D$ 恰好重合时，探索 $M N$ 与 $E C$ 之间的数量关系，并加以证明.

(2)、尝试类比：
如图（2），当点 $D$ 在 $A B$ 上，点 $E$ 在 $△ A B C$ 外部时，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.

(3)、拓展延伸：
如图（3），将图（2）中的等腰直角三角形 $A E D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $n °$ $(0 < n < 90)$ ，请猜想 $M N$ 与 $E C$ 之间的位置关系和数量关系.（不必证明）

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平台	平均数	众数	中位数
钉钉	$m$	4	$a$
腾讯会议	3.35	$c$	$b$