山东省临沂市临沭县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. $2^{- 1}$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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3. 下列运算错误的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ B、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ C、 $x^{3} + x^{3} = 2 x^{6}$ D、 ${(- 2 x)}^{3} = - 8 x^{3}$

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4. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，要得到 $△ A B D ≌ △ A C D$ ，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）

A、 $D B = D C$ B、 $A B = A C$ C、 $∠ A D B = ∠ A D C$ D、 $∠ B = ∠ C$

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5. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 的值为0，则x的值为（）

A、-2 B、0 C、2 D、±2

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6. 分式 $\frac{x}{6 a b^{2}}$ 与 $\frac{y}{9 a^{2} b c}$ 的最简公分母是（）

A、 $3 a b$ B、 $18 a^{2} b^{2} c$ C、 $36 a^{2} b^{2} c$ D、 $54 a^{3} b^{3} c$

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7. 下列从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(y - 1) (y - 2) = y^{2} - 3 y + 2$ B、 $a^{2} - 2 a x + x^{2} = a (a - 2 x) + x^{2}$ C、 $x^{2} + x + \frac{1}{4} = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ D、 $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$

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8. 下列分式中，最简分式是（　　）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ B、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - x y}$ D、 $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 12}$

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9. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）

A、90° B、180° C、210° D、270°

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10. 分式方程 $\frac{1}{x - 1} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 的解为（）

A、x＝1 B、 $x = - 1$ C、无解 D、x＝2

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11. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交x、y轴于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点 $P (a ， b)$ ，则a与b的数量关系是（）

A、 $a = b$ B、a=-b C、 $a = 2 b$ D、 $a = - 2 b$

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12. 某商店计划今年的春节购进 $A ， B$ 两种纪念品若干件，若花费480元购进的 $A$ 种纪念品的数量是花费480元购进 $B$ 种纪念品的数量的 $\frac{3}{4}$ ，已知每件 $A$ 种纪念品比每件 $B$ 种纪念品多4元．设购买一件 $B$ 种纪念品需x元，则下列所列方程正确的是（）

A、 $\frac{480}{x} = \frac{480}{x + 4} \times \frac{3}{4}$ B、 $\frac{480}{x} = \frac{480}{x - 4} \times \frac{3}{4}$ C、 $\frac{480}{x + 4} = \frac{480}{x} \times \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4} \times \frac{480}{x} = \frac{480}{x - 4}$

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13. 如图，已知等腰 $△ ABC$ 的底角 $∠ C = 15^{°}$ ，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（）

A、3cm B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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14. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+ $\frac{1}{2}$ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF= $\frac{1}{2}$ mn，正确的结论有（）个．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

15. 引发“新冠肺炎”的COVID﹣19病毒直径大小约为0.0000015米，这个数用科学记数法表示为．

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16. 分解因式： $x y^{2} - 9 x =$ ．

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17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则 $∠ A^{'} D B =$ ．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 20 °$ ， $P Q$ 垂直平分 $A B$ ，垂足为Q，交 $B C$ 于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $A C ， A B$ 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 $A F$ .若 $A F$ 与 $P Q$ 的夹角为 $α$ ，则 $α =$ °.

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19. 对于正整数 $n$ ，规定 $f (n) = \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ ，例如： $f (1) = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ， $f (2) = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $f (3) = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，…则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2021) =$

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三、解答题

20.

(1)、填空：
① ${(2 x)}^{3} \cdot (- 5 x y^{2})$ ＝；

② ${(- a^{3} b)}^{2} \div (- 2 a^{5} b^{2})$ ＝．

(2)、先化简，再求值： $2 x (x - 1) - (x + 1) (x - 1) - (3 x - 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数．

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22. 先化简，再求值： $(1 - \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x - 3}{x - 1}$ ，其中 $x = - 4$ ．

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23. 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x²﹣4y²+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x²﹣4y²+2x﹣4y

＝（x²﹣4y²）+（2x﹣4y）

＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x+2y+2）

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)、分解因式：x²﹣6xy+9y²﹣3x+9y

(2)、△ABC的三边a，b，c满足a²﹣b²﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．

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24. 列分式方程解应用题：
刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？

刘峰：我查好地图，你看看

李明：好的，我家门口的公交车站，正好又一趟到野生动物园那站的车，我坐明天8：30的车

刘峰：从地图上看，我家到野生动物园的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了

李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱俩同时到达

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $D$ 点， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．点 $G$ 为 $A B$ 的中点，连接 $D G$ 交 $A E$ 于点 $H$ ．

(1)、求 $∠ A C B$ 的度数；

(2)、求证： $H E = \frac{1}{2} A F$ ．

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26. 已知在 $△ ABC$ 中， $A B = A C$ ，过点 $B$ 引一条射线 $B M$ ， $D$ 是 $B M$ 上一点．

(1)、（问题解决）
如图1，若 $∠ ABC = 60^{°}$ ，射线 $B M$ 在 $∠ ABC$ 内部， $∠ ADB = 60^{°}$ ，求证： $∠ B D C = 60^{°}$ ．小明同学展示的做法是：在 $B M$ 上取一点 $E$ 使得 $A E = A D$ ，通过已知的条件，从而求得 $∠ BDC$ 的度数，请你帮助小明写出证明过程；

(2)、（类比探究）
如图2，已知 $∠ A B C = ∠ A D B = 30 °$ ．

①当射线 $B M$ 在 $∠ A B C$ 内，求 $∠ B D C$ 的度数；

②当射线 $B M$ 在 $B C$ 下方，如图3所示，请问 $∠ B D C$ 的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出 $∠ B D C$ 的度数

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