山东省济宁市兖州区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若一个三角形的两边长分别为3 $cm$ 、6 $cm$ ，则它的第三边的长可能是（）

A、2 $cm$ B、3 $cm$ C、6 $cm$ D、9 $cm$

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2. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A、打喷嚏捂口鼻 B、勤洗手勤通风 C、戴口罩讲卫生 D、喷嚏后慎揉眼

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3. 如果把分式 $\frac{2 x}{3 x - 2 y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大2倍，那么分式的值（）

A、扩大3倍 B、扩大9倍 C、缩小3倍 D、不变

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{8}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{6}$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点E，若 $B D = 3$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、6

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6. 如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上， $EB = CF$ ， $∠ A = ∠ D$ ，添加以下条件之一，仍不能证明 $△ ABC$ ≌ $△ DEF$ 的是 $($ $)$

A、 $∠ E = ∠ ABC$ B、 $AB = DE$ C、 $AB / / DE$ D、 $DF / / AC$

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7. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{240}{x} = \frac{280}{130 - x}$ B、 $\frac{240}{130 - x} = \frac{280}{x}$ C、 $\frac{240}{x} + \frac{280}{x} = 130$ D、 $\frac{240}{x} - 130 = \frac{280}{x}$

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8. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）²＝a²+2ab+b² ．你根据图乙能得到的数学公式是（）

A、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² B、（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² C、a（a+b）＝a²+ab D、a（a﹣b）＝a²﹣ab

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D， $D C$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ A = 50^{\circ}$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $25^{\circ}$ B、 $30^{\circ}$ C、 $35^{\circ}$ D、 $40^{\circ}$

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10. 如图， $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ， $B C = 2 cm$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，若动点 $E$ 以 $1 cm / s$ 的速度从 $A$ 点出发，沿 $A \to B \to A$ 的方向运动，设 $E$ 点的运动时间为 $t$ 秒 $(0 ⩽ t < 6)$ ，连接 $D E$ ，当 $Δ B D E$ 是直角三角形时， $t$ 的值为（）

A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5

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二、填空题

11. 若代数式 $\frac{1}{x - 7}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 因式分解： $m^{3} - 6 m^{2} + 9 m =$ ．

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13. 一个 $n$ 边形的内角和等于外角和的2倍，则其边数 $n$ 为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．

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15. 某中学假期后勤中的一项工作是请 $30$ 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．

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三、解答题

16. 已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE.

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17. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2021} + {(π - 1)}^{0} \times {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ；

(2)、先化简 $(\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，再从 $- 1 ， 0 ， 1$ 中选择合适的 $x$ 值代入求值．

(3)、如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径为 $a$ 与 $b$ 的两个圆．
①用含有 $a ， b$ 的代数式来表示剩下钢板的面积；

②当 $a = 30 c m ， b = 10 c m$ 时，剩下的钢板的面积为多少?

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18. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．

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19. 给出下列算式： $3^{2} - 1^{2} = 8 = 4 \times 2$ ；
$5^{2} - 3^{2} = 16 = 4 \times 4$ ；

$7^{2} - 5^{2} = 24 = 4 \times 6$ ；

$9^{2} - 7^{2} = 32 = 4 \times 8$ ．

······

(1)、观察上面一系列式子，你能发现什么规律?

(2)、用含 $n (n$ 为正整数)的式子表示出来你发现的规律，并证明这个规律﹔

(3)、计算 $2021^{2} - 2019^{2} =$ ，此时 $n =$ ．

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20. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 ° ，$ 点 $D$ 是直线 $A B$ 上的一动点(不和 $A 、 B$ 重合)， $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 所在的直线于点 $E ，$ 交直线 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、点 $D$ 在边 $A B$ 上时，证明： $A B = F A + B D$ ；

(2)、点 $D$ 在 $A B$ 的延长线或反向延长线上时， $(1)$ 中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出 $A B ， F A ， B D$ 三者之间数量关系．

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21. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

(1)、A ， B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

(2)、第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A ， B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ， B两种茶叶各多少盒？

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22. 如图

(1)、如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.

(2)、如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $α$ ，其中 $α$ 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)、拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

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