四川省内江市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-11-09 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2021的绝对值是（）

A、-2021 B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $\frac{1}{2020}$

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2. 从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长 $20 %$ 以上，其中4000亿用科学记数法表示为（）

A、 $0.4 \times 10^{12}$ B、 $4 \times 10^{10}$ C、 $4 \times 10^{11}$ D、 $0.4 \times 10^{11}$

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3. 下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121.这组数据的众数和中位数分别是（）

A、152，134 B、146，146 C、146，140 D、152，140

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5. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ 1 = 45 °$ ， $∠ 2 = 35 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $75 °$ C、 $80 °$ D、 $105 °$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $2 a^{3} b \div b = 2 a^{3}$ C、 ${(2 a^{2})}^{4} = 8 a^{8}$ D、 ${(- a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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7. 在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 $1.8 m$ 的竹竿的影长为 $3 m$ ，某一高楼的影长为 $60 m$ ，那么这幢高楼的高度是（）

A、 $18 m$ B、 $20 m$ C、 $30 m$ D、 $36 m$

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8. 函数 $y = \sqrt{2 - x} + \frac{1}{x + 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ⩽ 2$ B、 $x ⩽ 2$ 且 $x \neq - 1$ C、 $x ⩾ 2$ D、 $x ⩾ 2$ 且 $x \neq - 1$

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9. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆， $∠ B A C = 60 °$ ，若 $⊙ O$ 的半径 $O C$ 为2，则弦 $B C$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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10. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）

A、 $20 %$ B、 $25 %$ C、 $30 %$ D、 $36 %$

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11. 如图，在边长为 $a$ 的等边 $Δ A B C$ 中，分别取 $Δ A B C$ 三边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，得△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再分别取△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 三边的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，得△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；这样依次下去 $\dots$ ，经过第2021次操作后得△ $A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，则△ $A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ 的面积为（）

A、 $\frac{a^{2}}{2^{2021}}$ B、 $\frac{a^{2}}{2^{4042}}$ C、 $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2^{4042}}$ D、 $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2^{4044}}$

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上，若 $∠ B C D = 60 °$ ，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 分解因式： $3 a^{3} - 27 a b^{2} =$ .

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14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为.

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15. 若关于x的一元二次方程ax²+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 .

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A D$ 于点 $E$ 、交 $B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的长为.

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17. 若实数 $x$ 满足 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} + 2021 =$ .

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18. 已知，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 5$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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19. 已知非负实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{3} = \frac{3 - c}{4}$ ，设 $S = a + 2 b + 3 c$ 的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的值为 .

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20. 如图，矩形 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上.当点 $A$ 在 $x$ 轴上运动时，点 $D$ 也随之在 $y$ 轴上运动，在这个运动过程中，点 $C$ 到原点 $O$ 的最大距离为 .

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三、解答题

21. 计算： $6 \sin 45 ° - | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8} \times {(π - 2021)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ .

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22. 如图，点 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 、 $B$ 在同一条直线上， $A C = B D$ ， $A E = B F$ ， $A E / / B F$ .

求证：

(1)、 $Δ A D E ≅ Δ B C F$ ；

(2)、四边形 $D E C F$ 是平行四边形.

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23. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题

(1)、这次被调查的学生共有多少名？

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

(4)、该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

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24. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度.如图所示，测得斜坡 $B E$ 的坡度 $i = 1 ： 4$ ，坡底 $A E$ 的长为8米，在 $B$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $E$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，求树高 $C D$ .（结果保留根号）

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25. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象相交于 $A (1 ， 2)$ 、 $B (- 2 ， n)$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出满足 $k_{1} x + b > \frac{k_{2}}{x}$ 的 $x$ 的取值范围；

(3)、若点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $S_{Δ A O P} ： S_{Δ B O P} = 1 ： 4$ ，求点 $P$ 的坐标.

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26. 为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

衬衫价格	甲	乙
进价（元 $/$ 件）	$m$	$m - 10$
售价（元 $/$ 件）	260	180

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同.

(1)、求甲、乙两种衬衫每件的进价；

(2)、要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；

(3)、在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠

a

元

(60 < a < 80)

出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

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27. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上两点，且 $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}$ ，过点 $D$ 的直线 $D E ⊥ A C$ 交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连结 $A D$ 、 $O E$ 交于点 $G$ .

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\frac{D G}{A G} = \frac{2}{3}$ ， $⊙ O$ 的半径为2，求阴影部分的面积；

(3)、连结 $B E$ ，在（2）的条件下，求 $B E$ 的长.

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式与直线 $l$ 的解析式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点且在直线 $l$ 上方，连接 $P A$ 、 $P D$ ，求当 $Δ P A D$ 面积最大时点 $P$ 的坐标及该面积的最大值；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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