辽宁省葫芦岛市兴城市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x + y = 3$ C、 $x^{2} + 2 = 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$

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2. 已知点 $M (a ， - 2)$ 与点 $N (3 ， b)$ 关于原点对称，则 $a^{b}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 6$ D、9

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3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列事件为必然事件的是（）

A、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 B、三角形内角和是360° C、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 D、购买一张彩票中奖一百万元

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5. 如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的x与y的部分对应值如下表；

x

1

2

3

4

5

y

$- 8$

$- 9$

$- 8$

$- 5$

0

则当 $x = 0$ 时，y的值为（）

A、0 B、 $- 5$ C、 $- 8$ D、 $- 13$

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7. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C和点D是 $⊙ O$ 上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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8. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 8 x + c$ 的图象过点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (8 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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9. 已知 $∠ M A N = 30 °$ ，点B在射线AM上，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；

②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；

③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A、 $∠ B C D = 60 °$ B、 $A B^{2} = A D \cdot A C$ C、 $∠ A B D = 4 ∠ C B A$ D、 $A D = 2 \sqrt{3} A B$

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10. 如图，顶点坐标为 $(2 ， n)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (5 ， 0)$ ，与y轴的交点在 $(0 ， 2)$ ， $(0 ， 3)$ 之间（含端点），则下列结论：① $4 a + b = 0$ ；② $a + b + c > 0$ ；③ $\frac{8}{5} \leq b \leq \frac{12}{5}$ ；④关于x的方程 $a x^{2} + b x + c - 1 = n$ 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x (x - 2) = x - 2$ 的根是.

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12. 如图，路灯Р距地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯杆的底部（点O）12米的点A处，小明的影长是；

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13. 关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的最大整数解是；

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14. 将抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ 向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为；

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15. 如图，正六边形OABCDE与正六边形 $O A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 是关于原点О的位似图形，相似比为 $3 ： 2$ ，若点 $C^{'} (6 ， 0)$ ，则正六边形OABCDE的周长为；

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16. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4 x$ （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米；

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ C D E$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ E = 45 °$ ，B，C，E三点共线， $Rt △ A B C$ 不动，将 $R t △ C D E$ 绕点C逆时针旋转 $α (0 ° < a < 360 °)$ ，当DE $//$ BC时， $α =$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 $A_{1} (1 ， 0)$ 作x轴的垂线交直线 $y = x$ 于点B，以О为圆心， $O B_{1}$ 为半径作弧，交x轴于点 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作x轴的垂线交直线 $y = x$ 于点 $B_{2}$ ，以O为圆心， $O B_{2}$ 为半径作弧，交x轴于点 $A_{3}$ ；过点 $A_{3}$ 作x轴的垂线交直线 $y = x$ 于点 $B_{3}$ ，以О为圆心， $O B_{3}$ 为半径作弧，交x轴于点 $A_{4}$ ，……，按此做法进行下去，设由 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} A_{2}$ ，弧 $A_{2} B_{1}$ 围成的图形面积记为 $S_{1}$ ，由 $A_{2} B_{2}$ ， $A_{2} A_{3}$ ，弧 $A_{3} B_{2}$ 围成的图形面积记为 $S_{2}$ ，由 $A_{3} B_{3}$ ， $A_{3} A_{4}$ ，弧 $A_{4} B_{3}$ 围成的图形面积记为 $S_{3}$ ，……，那么 $S_{2020}$ 为：

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三、解答题

19. 如图所示的网格由小菱形组成，每个小菱形的边长均为Ⅰ个单位长度，且较小的内角为60°， $△ A B C$ 的顶点都在网格的格点上，将 $△ A B C$ 绕点C按顺时针方向旋转60°，得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ．

(1)、画出旋转后的 $△ A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、直接写出在旋转过程中，点B旋转到点 $B_{1}$ 所经过的路径长；

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20. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．

(1)、求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．

(2)、如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．

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21. 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中一门．某班班主任对全班同学的选修情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图①和图②）：

(1)、请你求出该班的总人数，并补全条形图；

(2)、在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？

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22. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点D在线段CB的延长线上．点E在线段AC的延长线上，连接AD，DE， $∠ A D E = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $△ A D B \sim △ D E C$ ；

(2)、若 $B C = 4$ ， $D B = 2$ ，求CE的长．

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23. 如图， $△ A B C$ 中，D为AB边上一点，连接CD， $B D = C D$ ．以AC为直径作 $⊙ O$ ，过点O作 $O E ⊥ A C$ 交BC于点E，连接DE， $∠ B D E = ∠ C D E$ ．

(1)、求证：AB为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 16$ ， $A C = 8$ ，求BD的长．

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24. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示．

销售单价x（元）

30

40

45

销售数量y（件）

100

80

70

(1)、求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？

(3)、销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？

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25. 如图， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D B E = 90 °$ ，连接CD，以CA，CD为邻边作 $▱ C A F D$ ，连接CE，BF．

(1)、如图1，当D在BC边上时，请直接写出CE与BF的关系；

(2)、如图2，将图1中的 $△ B D E$ 绕点B顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $A C = 3$ ， $B D = 2$ ，将图1中的 $△ B D E$ 绕点B顺时针旋转一周，当BD与直线BC夹角为30°时，请直接写出CE的值．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (4 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，设 $△ A D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2} + 5$ 时，求点D的坐标；

(3)、如图，过点C作 $C F // x$ 轴，点M是直线CF上的一点， $M N ⊥ C F$ 交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与 $△ B C O$ 相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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销售单价x（元）	30	40	45
销售数量y（件）	100	80	70