辽宁省葫芦岛市连山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程x²－9＝0的解是（）

A、x₁＝3，x₂＝－3 B、x＝0 C、x₁＝x₂＝3 D、x₁＝x₂＝－3

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2. 如果抛物线 $y = (a - 2) x^{2}$ 开口向下，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 2$ C、 $a > - 2$ D、 $a < - 2$

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3. 下列图形中，是中心对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 下列事件中，是随机事件的是（）

A、掷一次骰子，向上一面的点数是3 B、13个同学参加聚会，他们中至少有2个同学的生日在同一个月 C、三角形的内角和是180° D、两个负数的和大于0

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B = 108 °$ ，则 $∠ D$ 的大小为（）

A、36° B、54° C、62° D、72°

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6. 与点 $(2, - 3)$ 在同一反比例函数图象上的点是（）

A、 $(- 1.5, 4)$ B、 $(- 1, - 6)$ C、 $(6, 1)$ D、 $(- 2, - 3)$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E // B C$ ， $A D ： D B = 2 ： 3$ ，若 $Δ A D E$ 的周长为 $2 a$ ，则 $Δ A B C$ 的周长是（）

A、 $3 a$ B、 $9 a$ C、 $5 a$ D、 $25 a$

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8. 一个不透明的袋子里装有红、白、蓝三种颜色的球分别有3个、5个、8个.它们除颜色外其余都相同，从中随机的摸出一个，摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{5}{16}$

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9. 如图，平面直角坐标系中，过点 $A (1 ， 2)$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $O A$ ，将 $Δ A B O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ， $O$ 、 $B$ 两点的对应点分别为 $C$ 、 $D$ ．当双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与 $Δ A C D$ 有公共点时， $k$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq k \leq 3$ B、 $3 \leq k \leq 6$ C、 $2 \leq k \leq 6$ D、 $3 \leq k \leq 4$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 c m$ ， $B C = 4 c m$ ，点 $E$ 是 $C D$ 上的中点，点 $P$ 、 $Q$ 均以 $1 c m / s$ 的速度在矩形 $A B C D$ 边上匀速运动，其中动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to D \to C$ 方向运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to B \to C$ 方向运动，二者均到达点 $C$ 时停止运动．设点 $Q$ 的运动时间为 $x$ ， $△ P Q E$ 的面积为 $y$ ，则下列能大致反映 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知 $- 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ 的一个根，则 $k =$

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12. 二次函数 $y = x^{2} - 6 x - 1$ 的对称轴为直线.

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13. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将 $R t Δ A B C$ 在平面内绕点A逆时针旋转到 $A B' C'$ 的位置，连接 $C C'$ ．若 $A B / / C C'$ ，则旋转的角度为．

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，则弧 $A C$ 的长为.

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15. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．

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16. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A C$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ，若 $A B = B C$ ， $Δ A O B$ 的面积为2，则 $k$ 的值为．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 为射线 $A D$ 上的一个动点， $Δ A E F$ 沿着 $E F$ 折叠得到 $Δ H E F$ ，连接 $A C$ ，分别交 $E F$ 和直线 $E H$ 于点 $N$ 和 $M$ ，已知 $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 2$ ，若 $Δ E M N$ 与 $Δ A E F$ 相似，则 $A F$ 的长度是．

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18. 如图， $∠ M O N = 45 °$ ，正方形 $A B B_{1} C$ ，正方形 $A_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} B_{3} C_{2}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} B_{4} C_{3}$ ，…，的顶点 $A$ ， $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} \dots$ ，在射线 $O M$ 上，顶点 $B ， B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， B_{4} ， \dots$ ，在射线 $O N$ 上，连接 $A B_{2}$ 交 $A_{1} B_{1}$ 于点 $D$ ，连接 $A_{1} B_{3}$ 交 $A_{2} B_{2}$ 于点 $D_{1}$ ，连接 $A_{2} B_{4}$ 交 $A_{3} B_{3}$ 于点 $D_{2}$ ，…，连接 $B_{1} D_{1}$ 交 $A B_{2}$ 于点 $E$ ，连接 $B_{2} D_{2}$ 交 $A_{1} B_{3}$ 于点 $E_{1}$ ，…，按照这个规律进行下去，设四边形 $A_{1} D E D_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $A_{2} D_{1} E_{1} D_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $A_{3} D_{2} E_{2} D_{3}$ 的面积为 $S_{3}$ ，…，若 $A B = 2$ ，则 $S_{n}$ 等于．（用含有正整数 $n$ 的式子表示）．

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三、解答题

19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， $Δ A O B$ 的顶点均在格点上，点 $O$ 为原点，点 $A ， B$ 的坐标分别是 $A (3 ， 2) 、 B (1 ， 3)$ ．

(1)、将 $Δ A O B$ 向下平移3个单位后得到 $Δ A_{1} O_{1} B_{1}$ ，请在图中作出 $Δ A_{1} O_{1} B_{1}$ ，点 $B_{1}$ 的坐标为；

(2)、将 $Δ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°后得到 $Δ A_{2} O B_{2}$ ，请在图中作出 $Δ A_{2} O B_{2}$ ，点 $A_{2}$ 的坐标为；

(3)、在（2）中的旋转过程中，求出线段 $O A$ 扫过的图形的面积．

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20. 有 $A 、 B$ 两个不透明的盒子， $A$ 盒里有两张卡片，分别标有数字1、2， $B$ 盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀.

(1)、从 $B$ 盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是；

(2)、从 $A$ 盒、 $B$ 盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率.

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $∠ B A E = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $Δ B A E \sim Δ B C A$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A D = 9$ ，求 $C E$ 的长．

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22. 如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $A M = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求反比例函数解析式；

(2)、求 $Δ M O N$ 的面积．

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23. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第 $x$ 天的售价与销量的相关信息如下表：

第 $x$ 天

售价（元/件）

销售量（件）

$1 \leq x \leq 30$

$x + 60$

$300 - 10 x$

已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为 $w$ 元.

(1)、求 $w$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

(3)、问在当月有多少天的日销售利润不低于6160元，请直接写出结果.

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24. 如图： $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上， $∠ C B F = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．

(1)、求证：直线 $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $F C = 2$ ， $B F = 6$ ，求 $C E$ 的长．

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25. 在 $Δ A B C$ 与 $Δ C D E$ 中， $∠ A C B = ∠ C D E = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = E D = 2$ ，连接 $A E ， B E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的中点，连接 $D F$ ， $Δ C D E$ 绕着点 $C$ 旋转．

(1)、如图1，当点 $D$ 落在 $A C$ 的延长线上时， $D F$ 与 $B E$ 的数量关系是：；

(2)、如图2，当 $Δ C D E$ 旋转到点 $D$ 落在 $B C$ 的延长线上时， $D F$ 与 $B E$ 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

(3)、旋转过程中，若当 $∠ B C D = 105 °$ 时，直接写出 $D F^{2}$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D (3 ， 4)$ 在抛物线上，点 $P$ 是抛物线上一动点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $O D$ ，若 $O P$ 平分 $∠ C O D$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，连接 $A C ， B C$ ，抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $∠ C B P + ∠ A C O = 45 °$ ？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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第 $x$ 天	售价（元/件）	销售量（件）
$1 \leq x \leq 30$	$x + 60$	$300 - 10 x$