辽宁省抚顺市新抚区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 7的平方根是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、49 C、±49 D、± $\sqrt{7}$

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2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 . D、

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $3 a^{3} - 2 a^{2} = a$

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4. 对于反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，下列说法中错误的是（）

A、点 $(- 2 ， - 1)$ 在它的图象上 B、它的图象在第一、三象限 C、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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5. 若关于x的方程（k﹣1）x²+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（）

A、k≥5 B、k≥5且k≠1 C、k≤5且k≠1 D、k≤5

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ 所对的圆周角 $∠ A C B = 50^{0}$ ，若 $P$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O P = 55^{0}$ ，则 $∠ P O B$ 的度数为（）

A、30° B、45° C、55° D、60°

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7. 某学校在八年级开设了光影纸雕、乡土历史、兰亭书院三门校本课程，若小波和小春两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小春选到同一课程的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{E A}{B E} = \frac{E G}{E F}$ B、 $\frac{E G}{G H} = \frac{A G}{G D}$ C、 $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{C F}$ D、 $\frac{F H}{E H} = \frac{C F}{A D}$

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9. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为4 cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s的速度向点C运动，点P沿A—B—C以2 cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若 $△ A P Q$ 的面积为S（单位： $c m^{2}$ ），点Q的运动时间为t（单位：s），则下列最能反映S与t之间关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 2020年是不平凡的一年，新冠肺炎在武汉爆发，一方有难八方支援，很快各省市都斥巨资到抗疫前线，据有关部门初步统计，国家已经投入资金1390亿进行抗疫防控，这个数据的背后不仅是抗击疫情的强力保障，更是祖国综合实力的直接体现，为此很多人高呼：此生无悔入华夏，来世再做中国人！将1390亿用科学记数法表示为．

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12. 若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是．

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13. 分解因式： $3 x^{3} - 12 x =$ .

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14. 八边形内角和度数为.

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15. 已知关于x的不等式组 ${\begin{matrix} 4 x + 2 > 3 (x + a) \\ 2 x > 3 (x - 2) + 5 \end{matrix}$ 仅有三个整数解，则a的取值范围是．

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16. 如图是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点 $A ， B$ 均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ .如果点 $C$ 也在此 $4 \times 4$ 的正方形网格的格点上，且 $Δ A B C$ 是等腰三角形，那么当 $Δ A B C$ 的面积最大时，点 $C$ 的坐标为．

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三、解答题

17. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 上一点 $A$ .

求作：直线 $A B$ ，使得 $A B ⊥ l$ .

作法：①以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 $l$ 于 $C ， D$ 两点；

②分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径画弧，两弧在直线 $l$ 一侧相交于点 $B$ ；

③作直线 $A B$ .

所以直线 $A B$ 就是所求作的垂线.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：∵ $A C =$ ， $B C =$ ，

∴ $A B ⊥ l$ （）.（填推理的依据）

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18. 先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中 $a = 2 \sqrt{3} - 1$ ．

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19. 学校要购买A，B两种型号的足球，若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费600元，若买1个A型足球和4个B型足球，则要花费550元.

(1)、求A，B两种型号足球的销售价格各是多少元/个？

(2)、学校拟向该体育器材门市购买A，B两种型号的足球共20个，某体育用品商定有两种优惠活动，活动一，一律打九折，活动二，购物不超过1500元不优惠，超过1500元部分打七折，请说明选择哪种优惠活动购买足球更划算.

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A D$ 和 $C D$ 上的点，且 $A E = C F$ ．连接 $A F$ 、 $C E$ 交于点 $G$ ．求证： $∠ D G E = ∠ D G F$ ．

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21. 体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
$a$ .两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）；

$b$ .上学期测试成绩在 $80 \leq x < 90$ 的是：80 81 83 84 84 88

$c$ .两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

学期

平均数

中位数

众数

上学期

82.9

$n$

84

本学期

83

86

86

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中n的值是；

(2)、体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下（不含80分）的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有名女生参加此项目；

(3)、分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况.（从两个方面进行分析）

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22. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $O$ 在 $B C$ 边上， $∠ B A C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ 、 $C D$ ，过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线与 $A C$ 的延长线相交于点 $P$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $△ A B D ∽ △ D C P$ ；

(3)、当 $A B = 5 cm$ ， $A C = 12 cm$ 时，求线段 $P C$ 的长．

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23. 在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式

- -

利用函数图象研究其性质

- -

运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义

| a | = {\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}

，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数

y = | k x - 1 | + b

中，当

x = 2

时，

y = - 3

；

x = 0

时，

y = - 2

．

(1)、求这个函数的表达式；

(2)、用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；

$x$	$\dots$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	0	2	4	6	$\dots$
$y$	$\dots$		0	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$		$\dots$

(3)、观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

(4)、已知函数

y = \frac{- 2}{x} (x > 0)

的图象如图所示，与

y = | k x - 1 | + b

的图象两交点的坐标分别是

(2 \sqrt{3} + 4

，

\sqrt{3} - 2)

，

(2 \sqrt{2} - 2

，

- \sqrt{2} - 1)

，结合你画的函数图象，直接写出

| k x - 1 | + b \leq \frac{- 2}{x}

的解集．

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $Δ C O D$ 关于 $C D$ 的对称图形为 $Δ C E D$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、连接 $A E$ ，若 $A B = 6 cm$ ， $B C = \sqrt{5} c m$ ．
①求 $\sin ∠ E A D$ 的值；

②若点 $P$ 为线段 $A E$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $O P$ ，一动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿线段 $O P$ 匀速运动到点 $P$ ，再以 $1.5 cm / s$ 的速度沿线段 $P A$ 匀速运动到点 $A$ ，到达点 $A$ 后停止运动．当点 $Q$ 沿上述路线运动到点 $A$ 所需要的时间最短时，求 $A P$ 的长和点 $Q$ 走完全程所需的时间．

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²﹣ $\frac{4}{5}$ x+c与直线y＝ $\frac{2}{5}$ x+ $\frac{2}{5}$ 交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝ $\frac{2}{5}$ x+ $\frac{2}{5}$ 与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P在直线y＝ $\frac{2}{5}$ x+ $\frac{2}{5}$ 下方，求△PAC的最大面积；

(3)、设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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学期	平均数	中位数	众数
上学期	82.9	$n$	84
本学期	83	86	86