辽宁省大连市沙河口区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、通常加热到100℃时，水沸腾 B、某射击运动员射击一次，命中靶心 C、任意画一个三角形，其内角和是360° D、抛一枚硬币，落地后正面朝上

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2. 把抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $(3 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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4. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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5. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，则点数为2的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中，若 $D E ∥ B C$ ， $\frac{A E}{E C} = \frac{4}{5}$ ， $D E = 1$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{13}{4}$

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7. 已知圆锥的母线长为12，底面圆半径为6，则圆锥的侧面积是（）

A、24π B、36π C、70π D、72π

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8. 关于二次函数 $y = x^{2}$ 图象，下列叙述正确的有（    ）
①它的图象是抛物线；    ②它的图象有最低点；

③它的图象经过 $(0 ， 0)$ ；    ④它的图象开口向上．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 如图，将直角三角形ABC（∠BAC=90°）绕点A逆时针旋转一定角度得到直角三角形ADE，若∠CAE=65°，∠AFB=90°，则∠D的度数为（）

A、60° B、35° C、25° D、15°

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10. Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（）

A、当r＝2时，直线AB与⊙C相交 B、当r＝3时，直线AB与⊙C相离 C、当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切 D、当r＝4时，直线AB与⊙C相切

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二、填空题

11. 函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + 3$ 的顶点坐标为．

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12. 等边三角形绕着它的中心旋转，旋转后的等边三角形能和自身重合，则旋转角至少为 $°$ ．

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13. 在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为8cm，圆心 $O$ 到 $A B$ 的距离为3cm，则 $⊙ O$ 的半径为cm．

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14. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数
85
298
652
793
1604
4005
发芽频率
0.850
0.745
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ ，正方形 $D E F G$ 的顶点 $D$ 、 $G$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，顶点 $E$ ， $F$ 在 $△ A B C$ 内， $A D = A G$ ， $D G = 2$ ，则点 $F$ 到 $B C$ 的距离为．

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16. 已知关于 $x$ 的函数 $y = x^{2} + 2 x + m$ 图象与坐标轴只有2个交点，则 $m =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{4} + \tan 45 ° + {(π - 1)}^{0} + {(- 1)}^{2019}$ ．

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18. 二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、判断 $(2 ， - 3)$ 是否在此函数图象上，并说明理由．

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19. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；

（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．

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20. 为了迎接文艺汇演，甲班选出了2名女生候选人，乙班选出了一男一女两名候选人，要从这4名同学中选出2名同学担任文艺汇演的主持人，求下列事件的概率：

(1)、求所选的2名主持人性别相同的概率；

(2)、求所选的2名同学来自同一个班级的概率．

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21. 某商店进了一批成本为每件40元的商品，经调查，销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的函数关系为 $y = - 2 x + 160$ ．销售单价定位多少元，才能使销售该商品每天获得的利润 $W$ （元）最大?最大利润是多少?

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22. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，数学研究小组设计了如下的方案，他们在河南岸的点 $A$ 处测得河北岸的树 $H$ 恰好在 $A$ 的正北方向，点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向，点 $C$ 在点 $A$ 的正西方向，测量得到：数据 $B C = 200 m$ ， $∠ A B H = 60 °$ ， $∠ A C H = 30 °$ ．请根据测量数据求出河宽（结果保留根号）．

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $A B$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $A C$ 的垂线交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ A = ∠ C D E$ ．

(1)、求证 $C D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A E = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 如图，已知 $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形， $D$ 为 $B C$ 上的一点， $B D = 2$ ，动点 $P$ 为边 $A B$ 一点，动点 $P$ 从 $A$ 点出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，整个运动停止，连接 $P D$ ，作 $∠ P D Q = 60 °$ ， $D Q$ 交射线 $C A$ 于点 $Q$ ．设 $P A = x$ ，以点 $A$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $Q$ 为顶点的四边形的面积为 $y$ ．

(1)、 $P B =$ （用含 $x$ 的代数式表示）

(2)、试求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

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25. 在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，点 $E$ 在 $A B$ 上．

(1)、如图1，作 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $F$ ， $A F$ 、 $C B$ 的延长线交于点 $G$ ，连接 $A D$ 、 $C E$ ，若 $C D = B D = B G$ ．
求证：① $∠ D A F = ∠ G D F$ ；

② $C E + D E = A G$ ．

(2)、如图2，作 $B F ⊥ D E$ ，垂足为 $F$ ， $B F$ 的延长线交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ，若 $∠ D G C = ∠ B G A$ ．求 $\frac{B E}{A G}$ 的值．

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26. 已知函数 $G$ ： $y = {\begin{array}{l} n x^{2} - n x (x \geq n) ， \\ - 2 n x^{2} + 2 n x (x < n) . \end{array}$

(1)、当 $n = 1$ 时，
①直接写出此函数的关系式；

② $P$ 为函数 $G$ 图象上一点，横坐标为 $m$ ，且 $m > \frac{1}{2}$ ．此函数 $G$ 图象上在点 $A (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 与点 $P$ 之间部分（含点 $A$ 和点 $P$ ）最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ．求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

(2)、若此抛物线 $G$ 图象与 $y = x$ 的图象有3个交点，直接写出 $n$ 的取值范围．

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种子粒数	100	400	800	1000	2000	5000
发芽种子粒数	85	298	652	793	1604	4005
发芽频率	0.850	0.745	0.815	0.793	0.802	0.801