江西省上饶市余干县八校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）.

A、 B、 C、 D、

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2. 点 $(- 1, 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）.

A、 $(4, - 1)$ B、 $(- \frac{1}{4}, 1)$ C、 $(- 4, - 1)$ D、 $(\frac{1}{4}, 2)$

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3. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 无实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \leq 1$ D、 $m > 1$

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5. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）

A、70° B、55° C、45° D、35°

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6. 小飞研究二次函数y=-（x-m）²-m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x₁ ， y₁）与点B（x₂ ， y₂）在函数图象上，若x₁<x₂ ， x₁+x₂>2m，则y₁<y₂；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

7. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为．

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $| \sin A - \frac{1}{2} | + {(\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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9. 如图，已知A为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴，垂足为B．若 $△ O A B$ 的面积为2，则k的值为．

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10. 如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，则弧 $\overset{⌢}{FG}$ 所对的圆周角∠FPG的大小为度．

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11. 在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离.如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，若小林能看到整个红灯，则x的最小值为.

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12. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4 $\sqrt{3}$ ，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $\tan 60 ° - \sin^{2} 45 ° + \tan 45 ° - 2 \cos 30 °$ ．

(2)、如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的直角顶点C的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点A在x轴正半轴上，且 $A C = 2$ ．将 $△ A B C$ 先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，求变换后点A的对应点的坐标．

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14. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

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15. 为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等

(1)、若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：

(2)、若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.

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16. 已知点 $A ， B ， C$ 在⊙ $O$ 上， $∠ C = 30^{°}$ ，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）

(1)、在图①中画一个含 $30^{°}$ 的直角三角形；

(2)、点 $D$ 在弦 $A B$ 上，在图②中画一个含 $30^{°}$ 的直角三角形.

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17. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)、求每年市政府投资的增长率；

(2)、若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？

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18. 如图，直线y＝x与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象相交于点D，点A为直线y＝x上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象于点B，连接BD．

(1)、若点B的坐标为（8，2），则k＝，点D的坐标为；

(2)、若AB＝2BC，且△OAC的面积为18，求k的值及△ABD的面积．

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19. 如图1是一辆在平地上滑行的滑板车，如图2是其示意图．车杆 $B C$ 固定，车杆 $A B$ 可伸缩，车杆 $B C$ 长 $92cm$ ，车杆与脚踏板所成的角 $∠ B C D = 70 °$ ，前后轮子的半径均为 $6cm$ ．

(1)、求固定车杆 $B C$ 的上端B离地面的高度（结果保留小数点后一位）

(2)、小明站在滑板车上，双手放在把手A处最舒适，此时把手A离地面的高度为 $120cm$ ，求伸缩杆 $A B$ 的长度（结果保留小数点后一位；参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， \tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC ，延长AB至点E ，使 $B E = A B$ ，连接DE ，分别交BC ， AC交于点F ， G ．

(1)、求证： BF=CF ；

(2)、若 $B C = 6$ ， $D G = 4$ ，求FG的长．

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21. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在 $⊙ O$ 上，直径 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交弦 $B C$ 于点 $E$ ，在 $B C$ 的延长线上取一点 $F$ ，使得 $E F = E D$ .

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．

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22. 观察猜想：

(1)、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则 $\frac{E F}{A D}$ ＝， sin∠ADE＝，

(2)、在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝ $\frac{1}{3}$ AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．
拓展延伸

(3)、如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求 $\frac{E F}{A D}$ 和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）

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23. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 和抛物线 $y_{n} = \frac{n}{3} x^{2} - \frac{2 n}{3} x - n$ （ $n$ 为正整数）．

(1)、抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴的交点，顶点坐标；

(2)、当 $n = 1$ 时，请解答下列问题．
①直接写出 $y_{n}$ 与 $x$ 轴的交点，顶点坐标，请写出抛物线 $y$ ， $y_{n}$ 的一条相同的图象性质；

②当直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 与 $y$ ， $y_{n}$ 相交共有4个交点时，求 $m$ 的取值范围．

(3)、若直线 $y = k$ （ $k < 0$ ）与抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，抛物线 $y_{n} = \frac{n}{3} x^{2} - \frac{2 n}{3} x - n$ （ $n$ 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ ，点 $D$ ，当 $A B = B C = C D$ 时，求出 $k$ ， $n$ 之间满足的关系式．

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