江西省赣州市章贡区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1.
下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：
其中属于中心对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3$ =0时，此方程可变形是为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 2$

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3. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 经过平移得到 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ ，则这个平移过程正确的是（）

A、向左平移1个单位 B、向右平移1个单位 C、向上平移1个单位 D、向下平移1个单位

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4. 若点（﹣2，y₁），（﹣1，y₂），（3，y₃）在双曲线y= $\frac{k}{x}$ （k＜0）上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₃＜y₂＜y₁ C、y₂＜y₁＜y₃ D、y₃＜y₁＜y₂

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5. 如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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6. 如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；② $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ $- \frac{c}{a}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

7. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的周长为．

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8. 已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x²+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是．

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9. 圆锥的底面半径是1，高是 $\sqrt{3}$ ，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．

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10. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是．

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11. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．

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12. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP，垂足为P，则点P的坐标为．

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三、解答题

13. 解方程：（x﹣3）²+2x（x﹣3）＝0．

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14. 如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？

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15. 关于x的一元二次方程x²+（2m﹣1）x+m²＝0有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若两根为x₁、x₂且x₁²+x₂²＝7，求m的值．

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16. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武”、“汉”、“加”、“油”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．

(1)、若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？

(2)、甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率P₁ ．

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17. 等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)、如图1，∠A＜90°；

(2)、如图2，∠A＞90°．

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18. 已知抛物线y＝x²+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．

(1)、求抛物线的函数解析式及顶点坐标；

(2)、将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，直接写出图象G的函数解析式．

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19. 如图，已知函数 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）的图象经过点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．

(1)、求△OCD的面积；

(2)、当BE＝ $\frac{1}{2}$ AC时，求CE的长．

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20. 如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 为直径， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $E$ 为圆外一点， $E O ⊥ A B$ ，与 $B C$ 交于点 $G$ ，与圆 $O$ 交于点 $F$ ，连接 $E C$ ，且 $E G = E C$ .

(1)、求证： $E C$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、当 $∠ A B C = 22.5 °$ 时，连接 $C F$ ，
①求证： $A C = C F$ ；

②若 $A D = 1$ ，求线段 $F G$ 的长.

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21. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.

(1)、在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段 $A_{1} B_{1}$ （点A，B的对应点分别为 $A_{1} 、 B_{1}$ ）.画出线段 $A_{1} B_{1}$ ；

(2)、将线段 $A_{1} B_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转90°得到线段 $A_{2} B_{1}$ .画出线段 $A_{2} B_{1}$ ；

(3)、以 $A 、 A_{1} 、 B_{1} 、 A_{2}$ 为顶点的四边形 $A A_{1} B_{1} A_{2}$ 的面积是个平方单位.

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22. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为 $y_{1} = {\begin{matrix} k_{1} x (0 \leq x < 600) \\ k_{2} x + b (600 \leq x \leq 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=﹣0.01x²﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

(1)、请直接写出k₁、k₂和b的值；

(2)、设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；

(3)、若种草部分的面积不少于700m² ，栽花部分的面积不少于100m² ，请求出绿化总费用W的最小值．

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23.

(1)、（问题解决）
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

(2)、（类比探究）
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC= $\sqrt{11}$ ，求∠APB的度数．

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24. 如图1，抛物线y=x²﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]

(1)、k= ，点A的坐标为，点B的坐标为；

(2)、设抛物线y=x²﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

(3)、在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)、在抛物线y=x²﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

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25. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F₂都是抛物线F₁的过顶抛物线，设F₁的顶点为A，F₂的对称轴分别交F₁、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

(1)、如图1，如果抛物线y=x²的过顶抛物线为y=ax²+bx，C（2，0），那么
①a= ， b= ．

②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

(2)、如图2，抛物线y=ax²+c的过顶抛物线为F₂ ， B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．

(3)、如果抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$ 的过顶抛物线是F₂ ，四边形ABCD的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，请直接写出点B的坐标．

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