广东省两校2022届高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x - 4} \geq \frac{1}{2}}$ ，集合 $B = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $(3 ， 5)$

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2. 若 $a ， b ， c \in R$ ， $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a \lg (c^{2} + 1) < b \lg (c^{2} + 1)$ C、 $a^{\frac{2}{3}} > b^{\frac{2}{3}}$ D、 $3^{a} > 3^{b}$

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3. 命题 $p$ ：若 $\sin α = \sin β$ ，则 $α = 2 k π + β$ ；命题 $q$ ：函数 $f (x) = e^{x} - e x$ 有且仅有一个零点，则下列为真命题的是（）

A、 $\neg p \land q$ B、 $p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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4. 函数 $y = f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都有 $f (x + 2) = f (- x)$ 成立，且函数 $y = f (x - 1)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称， $f (1) = 4$ ，则 $f (2020) + f (2021) + f (2022) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x \ln x$ ， $g (x) = x^{3} - x^{2} - 3$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2] ，$ 都有 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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6. 设 $a = \log_{9} 5$ ， $b = \log_{16} 9$ ， $c = {(\frac{16}{9})}^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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7. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2}) ， α \neq β ，$ 若 $e^{α} - e^{β} = \sin α - 2 \sin β$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $α + β = \frac{π}{4}$ B、 $α + β = \frac{π}{2}$ C、 $α > β$ D、 $α < β$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \lg (2 x + 1) ， x \geq 0 \\ \lg (1 - 2 x) ， x < 0 \end{array}$ 若不等式 $f (a x - 1) < f (x - 2)$ 在 $[2 ， 3]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{4})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ C、 $(0 ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{2}{3})$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $x > 0$ 且 $y > 0$ ”是“ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ ”的充要条件 B、方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ 有一正一负根的充要条件是 $m \in {m | m < 0}$ C、命题“若 $\frac{1}{x - 1} > 1$ ，则 $1 < x < 2$ .”的逆否命题为真命题 D、命题 $p$ ：“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”，则非 $p$ ：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”

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10. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列的结论中正确的是（）

A、若 $\sin A \cos A = \sin B \cos B$ ，则△ $A B C$ 一定是等腰三角形 B、若 $\cos A > \cos B$ ，则 $\sin A < \sin B$ C、若△ $A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$ D、已知△ $A B C$ 不是直角三角形，则 $\tan A \tan B \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最小值为 $- 1$ B、若 $a ， b ， c$ 都是正数，且 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b + c}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + x y = 6$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是4 D、已知 $x y \neq 0$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}$ 的最大值为 $4 - 2 \sqrt{2}$

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12. 若函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 2 a x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{2} > \ln (2 a)$ C、 $a < f (x_{1}) < 2 a$ D、 $f (x_{2}) > 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线 $y = \ln x$ 过点 $(- e ， - 1)$ 的切线方程为.

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14. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，若 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{6}) =$ .

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15. 一医用放射性物质原来质量为 $a$ ，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用时间是10年.已知到今年为止，剩余为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，到今年为止，该放射物质已经衰减了年.

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16. 设函数 $f (x) = x \cdot e^{x} - a x + a$ ，若存在唯一的整数 $x_{o}$ ，使得 $f (x_{o}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。

17. 已知 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2} ， f (α) = \frac{2 \cos (\frac{π}{2} + α) \cdot \sqrt{1 - \sin 2 α}}{\tan (α + π) \cdot \sqrt{2 + 2 \cos 2 α}} ，$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{5} ，$ 求 $\tan 2 α$ 的值.

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18. 函数 $f (x) = \sin x + \cos x + \sin 2 x ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 的值域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = \ln \frac{x - a^{2} - \sqrt{2}}{a - x}$ 的定义域为集合 $B$ ，记 $p ： x \in A ， q ： x \in B$ .

(1)、若 $a = 0$ ，试判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = \lg (x + \frac{1}{x})$ .

(1)、解不等式 $f (2 - 2 x) < f (x + 3)$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \lg (\frac{a}{x} + 2 a)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 ( $a \in R$ ，为常数)在内有两个极值点．

(1)、求参数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ ．

(1)、当 $x \in (0 ， \frac{π}{4})$ 时，求 $f^{'} (x)$ 的单调性及零点的个数；

(2)、当 $x \in (\frac{π}{4} ， + \infty)$ 时，求 $f (x)$ 的零点的个数.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + m x^{2}$ ．

(1)、探究函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 1 + (1 + 2 m) x$ 在 $(0 ， e]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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