上海市青浦区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 2}$ ，集合 $A = {- 1, 0}$ ，则 $C_{U} A =$ ．

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2. 不等式 $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ 的解集是．

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3. 已知 $\log_{3} 2 = a$ ，则用 $a$ 表示 $\log_{8} 27 =$ .

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4. 若 $a ， b \in R$ ，且 $| a | \leq 1$ ， $| b | \leq 5$ ，则 $| a + b |$ 的最大值是.

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5. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a + 1) x^{a + 2}$ 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值．

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6. 已知条件 $α ： 0 < x < 4$ 和条件 $β ： 0 < x < a$ ，若 $α$ 是 $β$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的值域是.

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8. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + 2 y = 3$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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9. 已知函数 $y = {\begin{array}{l} 2 x - x^{2} ， x > 0 \\ x^{2} - 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，则该函数的零点是.

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10. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 四项多元评价指标，并通过经验公式 $S = \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{3}}{x_{4}}$ 来计算各城区的综合得分， $S$ 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为 $0 < x_{3} < x_{4} < x_{2} < x_{1}$ ，则下阶段要把其中一个指标的值增加 $1$ 个单位，而使得 $S$ 的值增加最多，那么该指标应为.(填入 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 中的一个)

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (m x^{2} + 2) + f (- x) < 0$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围为

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = 3$ ，对任意两个不等的实数 $a$ 、 $b$ 都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ ，则不等式 $f (2^{x} - 1) < 2^{x} + 1$ 的解集为.

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二、单选题

13. 已知 $0 < a < 1 ， b < - 1$ ，则函数 $y = a^{x} + b$ 的图像必定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14. 下列函数中，定义域为 $R$ 的偶函数是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = | x^{2} - 1 |$ D、 $y = \log_{2} | x |$

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15. 下列不等式中，恒成立的是（）

A、 $x + \frac{4}{x} \geq 4$ B、 $| x - y | + \frac{1}{x - y} \geq 2$ C、 $| x - y | \geq | x - z | + | y - z |$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq x + \frac{1}{x}$

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16. 设集合 $A = [0 ， \frac{1}{2})$ ， $B = [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in A \\ 2 (1 - x) ， x \in B \end{array}$ ，若 $x_{0} \in A$ ，且 $f [f (x_{0})] \in A$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{3}{8}]$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$

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三、解答题

17. 已知不等式 $| 1 - 2 x | < 7$ 的解集是 $A$ ，函数 $y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 8}$ 的定义域是 $B$ ，求 $A \cap B$ .

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18. 已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = f (x) \cdot x + a x$ ，且 $y = g (x)$ 在区间 $(0 ， 2]$ 上是严格减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 解集为 $\emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数 $y$ 与听课时间 $x$ （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当 $x \in [0 ， 16]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分；当 $x \in [16 ， 40]$ 时，曲线是函数 $y = 80 + \log_{0.8} (x + a)$ 图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

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21. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a ， b]$ 上存在实数 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，那么称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a ， b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点.

(1)、判断函数 $f (x) = x^{4}$ 是否是区间 $[- 1 ， 1]$ 上的“平均值函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $g (x) = - 4^{x} + m \cdot 2^{x}$ 是区间 $[0 ， 1]$ 上的“平均值函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设函数 $h (x) = k x^{2} + x - 4 (k \in N^{*})$ 是区间 $[- 2 ， t] (t \in N^{*})$ 上的“平均值函数”， $1$ 是函数 $h (x)$ 的一个均值点，求所有满足条件的数对 $(k ， t)$ .

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