陕西省榆林市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 5 - 2 x < 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、{4} D、 ${3 ， 4}$

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2. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + 5 y - 1 = 0$ ，若 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 已知 $a = \log_{3} π$ ， $b = \log_{\frac{1}{5}} 2$ ， $c = {(\frac{1}{π})}^{4}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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4. 设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ， $m \subset α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 圆 $C_{1} ： {(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 49$ 与 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 y + 28 = 0$ 的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、内含

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6. 已知直线 $3 x - 4 y + 4 = 0$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ 相交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $A C = 5$ ， $P A = \sqrt{10}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积为（）

A、9π B、18π C、36π D、72π

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + m - 1 ， x \leq 0 \\ \log_{5} x ， x > 0 \end{array}$ ，恰有两个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $16 + 2 \sqrt{5}$ B、 $18 + 2 \sqrt{5}$ C、 $19 + 2 \sqrt{5}$ D、 $20 + 2 \sqrt{5}$

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10. 已知实数a，b，c，d满足 $\frac{a}{b} = \frac{c - 1}{d - 3} = \frac{4}{3}$ ，则 ${(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{81}{25}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{121}{25}$ D、 $\frac{11}{5}$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{x} ， x < 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 16)) =$ .

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12. 已知直线 $l_{1} ： 3 x + y - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： 6 x + a y - 3 = 0$ 平行，则 $a =$ .

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13. 过点 $A (0 ， - 3)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 0)$ 的圆的标准方程为.

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14. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $f (m) + f (3 - 2 m) > f (0)$ ，则m的取值范围为.

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三、解答题

15.

(1)、化简： ${(\frac{b}{2 a^{2}})}^{3} \div {(\frac{b}{4 a^{3}})}^{2} \times {(- \frac{a}{b})}^{- 3}$ .

(2)、计算： $2 \log_{6} 5 \times (\log_{5} 24 + \log_{\frac{1}{5}} 4) - \lg 20 - \lg 50$ .

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16. 已知直线 $l ： 6 x - y + 1 = 0$ .

(1)、若平行于l的直线m经过点 $A (- 1 ， - 4)$ ，求m的方程；

(2)、若l与直线 $y = 4 x + b$ 的交点在第二象限，求b的取值范围.

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17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m - 1}$ 是偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象过点 $A (\frac{1}{9} ， - 2)$ ，求函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[1 ， 9]$ 上的值域.

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18. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是正方形，E是棱 $A A_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 A B = 2$ .

(1)、证明：平面 $E B C ⊥$ 平面 $E B_{1} C$ .

(2)、求点B到平面 $E B_{1} C$ 的距离.

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19. 已知圆C过点 $(1 ， 0)$ ，且与圆 $D ： x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 \sqrt{3} y + 33 = 0$ 相切于点 $E (4 ， \sqrt{3})$ .

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、已知点M在直线 $x = 2$ 上且位于第一象限，若过点M且在两坐标轴上截距相等的直线l与圆C相切，求切线l的方程.

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