陕西省商洛市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B、垂直于同一平面的两个平面不一定平行 C、若直线 $l$ 与平面 $α$ 内的无数条直线平行，则 $l // α$ D、两两相交的三条直线共面

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2. 已知集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x \geq 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x > 1}$ D、 ${x | x < 2}$

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3. 直线 $l_{1}$ ： $a x - y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $4 x - a y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、-2 B、±2 C、2 D、0

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4. 函数 $f (x) = x^{2} - \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， 3 \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ C、 $y = x^{\frac{3}{2}}$ D、 $y = x^{\frac{5}{2}}$

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6. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (\frac{1}{x}) = x + 2$ ，则 $f (2) =$ （）

A、0 B、2 C、3 D、-3

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} + \frac{m}{x}$ ，且 $f (- 1) = 4$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-6

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最大面的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O$ ，若过直线 $O P$ 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、4π D、 $(4 \sqrt{2} + 4) π$

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10. 已知a是函数 $h (x) = 2^{x} - 8$ 的零点，则函数 $f (x) = a x + \ln x - 5$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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11. 在四面体 $P A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则该四面体外接球的表面积为（）

A、 $9 \sqrt{2} π$ B、 $18 \sqrt{2} π$ C、9π D、18π

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12. 已知直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有且仅有1个公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) \cup {\frac{\sqrt{5}}{2}}$ B、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) \cup {\frac{\sqrt{5}}{2}}$ D、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{5}}{2}]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， 1 \leq x < 2 ， \\ 2 f (\frac{x}{2}) ， x \geq 2 ， \end{array}$ 则 $f (3) =$ .

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14. 已知函数 $f (x + 1) = x^{2}$ ，则 $f (x) =$ .

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15. 由直线 $l$ ： $y = 2 x + 1$ 上的动点 $M$ 向圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 引切线，则切线长的最小值为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $E$ ， $F$ 为 $A B$ 上任意两点，且 $E F = \frac{a}{2}$ ，则三棱锥 $M - N E F$ 的体积为.

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、 ${(0.064)}^{- \frac{1}{3}} - {(π - 1)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{16})}^{- \frac{3}{4}}$ ；

(2)、 $\log_{27} 9 + 2 \lg 5 + \lg 4 - 2^{1 - \log_{2} 3}$ .

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 1}$ ， $B = {x | 3 \leq 9^{x} \leq 27}$ ， $C = {x | a - 2 < x < 2 a - 4}$ .

(1)、求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap C = C$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ ： $y = x - 1$ 被圆 $C$ 截得的弦长；

(2)、当圆心 $C$ 到直线 $l_{2}$ ： $m x + y + m - 1 = 0$ 的距离最大时，求 $m$ 的值.

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20. 在如图所示的几何体中，四边形 $B C E D$ 为直角梯形， $D E // C B$ ， $B C ⊥ E C$ ， $∠ A E D = 90 °$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C E$ .

(2)、若 $P$ ， $Q$ 分别是 $A E$ ， $C D$ 的中点，证明： $P Q //$ 平面 $A B C$ .

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C^{2} = B C^{2} = 2$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ A D$ .

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B D$ 的距离.

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22. 已知函数 $f (x) = (\log_{2} x - 2) (2 \log_{2} x + 1)$ ．

(1)、当 $x \in [1 ， 8]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) < m \log_{2} x$ 对 $x \in [2 ， 4]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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