广东省珠海市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 4}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${5 ， 6}$ C、 ${4 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题 $p$ ：“ $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $e^{x} > x^{2}$ ”的否定形式 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin [0 ， + \infty)$ ， $e^{x} \leq x^{2}$ B、 $\exists x_{0} \in (- \infty ， 0]$ ， $e^{x_{0}} > x_{0}^{2}$ C、 $\exists x \notin [0 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} > x_{0}^{2}$ D、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} \leq x_{0}^{2}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$

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4. 如果角 $α$ 的终边过点 $(1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $\sin α$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 函数 $y = 2 x \cos x$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， x \geq 10 \\ f (x + 6) ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (9) =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到 $g (x)$ ，则 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = - \sin (4 x)$ B、 $g (x) = \sin (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \sin (4 x - \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = \sin (x - \frac{π}{3})$

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8. 已知 $a = \log_{2} 0.3$ ， $b = 3^{0.2}$ ， $c = {0.3}^{2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{a}{x} ， x \leq - 1 \\ (3 - 2 a) x + 2 ， x > - 1 \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上为增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{3}{2})$ C、 $[1 ， \frac{3}{2})$ D、 $[1 ， \frac{3}{2}]$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意的正数 $a ， b (a \neq b)$ ，有不等式 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 0$ 成立， $f (3) = 0$ ，则不等式 $f (\log_{2} x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{8})$ B、 $(8 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{8}) \cup (8 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{8} ， 1) \cup (8 ， + \infty)$

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二、多选题

11. 在某种固体金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示，在实验过程中金属材料没有熔化.则下列结论正确的是（）

A、 $5 min$ 以后温度基本保持不变 B、前 $5 min$ 温度增加的速度越来越快 C、前 $5 min$ 温度增加的速度越来越慢 D、实验表明这种金属材料是耐高温的好材料

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{3} x_{4} = 1$ C、 $0 < x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} < 1$ D、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < 1$

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三、填空题

13. 已知 $x$ 、 $y \in R^{+}$ ，且 $2 x + y = 4$ ，则 $x y$ 的最大值是.

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14. 周长为8，圆心角弧度数为2的扇形的面积为.

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15. 已知集合 $A = {2 ， 3}$ ， $B = {x | a x = 1}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的所有可能的取值组成的集合为.

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16. $16^{\frac{3}{4}} + \lg 50 + \lg 2 - e^{\ln 2} =$ .

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17. 化简： $\frac{\sin (α + \frac{π}{2}) \tan (α - π) \cos (π - α)}{\cos (- α) \sin (3 π + α)} =$ .

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18. 函数 $y = 3 \sin (2 x + φ)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{24} ， 0)$ ，图象的对称轴为.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4$ ， $g (x) = a x$ ，当 $x \in [1 ， 4]$ 时， $f (x)$ 的图象总在 $g (x)$ 图象的上方，则 $a$ 的取值范围为.

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20. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 \sin 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{2 \cos^{2} 63 ° - 1} =$ .

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四、解答题

21. 设集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | - a - 1 < x < 1 - a}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、设 $p ： x \in A$ ， $q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1) - \log_{a} (1 - x)$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(3)、当 $0 < a < 1$ 时，求使 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围.

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23. 如图， $O P Q$ 是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，点A在弧 $P Q$ 上（异于点P，Q），过点A作 $A B ⊥ O P ， A C ⊥ O Q$ ，垂足分别为B，C，记 $∠ A O B = θ$ ，四边形 $A C O B$ 的面积为S．

(1)、求S关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、当 $θ$ 为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

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24. 已知 $f (x) = (x - 3 + 2 a) (x - a^{2})$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，写出 $f (x)$ 的单调区间（不用证明）；

(2)、解关于 $x$ 不等式 $f (x) > 0 (a \in R)$ .

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25. 珠海某生物试剂厂以 $x$ 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得的利润是 $5 x + 1 - \frac{3}{x}$ 千元.

(1)、要使生产该产品2小时获得利润等于30千元，求 $x$ 的取值；

(2)、要使生产120千克该产品获得的利润最大，求生产速度 $x$ 的值？并求此最大利润.

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