广东省湛江市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（）

A、-43º与677º B、900º与-1260º C、-120º与960º D、150º与630º

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3. 已知命题p： $\forall x \in R$ ， $x > 0$ ，则 $\neg p$ （）

A、 $\exists x \in R$ ， $x \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x \leq 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $x \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x > 0$

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4. 已知不等式 $a x^{2} - 5 x + b > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ ，则不等式 $b x^{2} - 5 x + a < 0$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x ∣ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$ C、 ${x ∣ x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$ D、 ${x ∣ x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > \frac{1}{3}}$

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5. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 在区间(2，3)内是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ 或 $a \geq 3$ B、 $2 \leq a \leq 3$ C、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq - 2$ D、 $- 3 \leq a \leq - 2$

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6. 已知 $a > 0 ， b > 0$ 且 $a^{2} - b + 4 \leq 0$ ，则 $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$ （）

A、有最小值 $\frac{14}{5}$ B、有最大值 $\frac{14}{5}$ C、有最小值 $\frac{17}{6}$ D、有最大值 $\frac{17}{6}$

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二、多选题

7. 下列各组函数表示不同函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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8. 已知函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{12} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、 $g (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{7 π}{6})$ 上有两个零点

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9. 下列结论正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$ B、当 $x > 0$ 时， $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 C、当 $x < 0$ 时， $2 x - 1 + \frac{2}{4 x - 5}$ 的最小值是 $\frac{5}{2}$ D、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 6) = f (x) + f (3)$ 成立，当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，给出下列命题，其中所有正确命题为（）.

A、 $f (3) = 0$ B、直线 $x = - 6$ 是函数 $y = f (x)$ 的图象的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 9 ， - 6]$ 上为增函数 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 9 ， 9]$ 上有四个零点

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三、填空题

11. 已知扇形的圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，扇形的面积为 $3 π$ ，则该扇形的弧长为.

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12. 设 $f (x) = {\begin{matrix} 2 e^{x - 1} x < 2 ， \\ \log_{3} (x^{2} - 1) x \geq 2 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1)) =$ ．

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13. 已知正数 $x$ 、 $y$ 满足 $3 x + 4 y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为．

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14. 函数 $f (x) = \sin (π - 2 x) + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ 的最小值为.

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四、解答题

15. 求值：

(1)、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + {(\frac{16}{9})}^{- \frac{1}{2}} + {(\sqrt{8})}^{- \frac{4}{3}}$ ；

(2)、 $\lg \frac{1}{100} - \ln \sqrt{e} + 2^{\log_{2} 3} - \log_{4} 27 \cdot \log_{9} 8$ .

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16. 已知 $α, β$ 为锐角， $\cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan (α - β)$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x^{2}} - 2 x$ .

(1)、当 $m > 0$ 时，用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数；

(2)、已知二次函数 $g (x)$ 满足 $g (2 x) = 4 g (x) + 4 x + 6$ ， $g (1) = - 3$ ，若不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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18. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度 $v$ (单位：千米/小时)和车流密度 $x$ (单位：辆/千米)满足关系式： $v = {\begin{matrix} 50 ， 0 < x \leq 20 \\ 60 - \frac{k}{140 - x} ， 20 < x \leq 120 \end{matrix} (k \in R)$ .研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

(1)、若车流速度 $v$ 不小于40千米/小时，求车流密度 $x$ 的取值范围；

(2)、隧道内的车流量 $y$ (单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足 $y = x \cdot v$ ，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.

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19. 在①函数 $f (x) = \sin (2 ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 图像关于 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称；②函数 $f (x) = 2 \cos ω x \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
已知______，函数 $f (x)$ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， α]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2} ， 1]$ ，求a的取值范围；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间.

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