广东省深圳市罗湖区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|0<x-1<3}，则A∩B=（）

A、 ${1 ， 2}$ B、{2，3} C、{1，2，3} D、{2，3，4}

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2. “ $α = \frac{π}{6}$ ”是“ $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ”的条件（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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3. 下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的定义域与值域相同的是（）

A、y=sinx B、 $y = \log_{2} x$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = e^{\ln x}$

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4. 函数 $f (x) = \sin 2 x - \cos 2 x$ 的最小正周期是（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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5. 设 $a = 2^{0.3} ， b = {0.3}^{2} ， c = \log_{\sqrt{2}} 2$ ，则（）

A、a>b>c B、a>c>b C、c>a>b D、c>b>a

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6. 已知α是第三象限的角，且 $\sin α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知 $f (x) = | 2^{x} - 1 |$ ，若 $f (a) = f (b) (a \neq b)$ ，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 为庆祝深圳特区成立40周年，2020年10月11日深圳无人机精英赛总决赛在光明区举行，全市共39支队伍参加，下图反映了某学校代表队制作的无人机载重飞行从某时刻开始15分钟内的速度 $U (x)$ (单位：米/分)与时间x(单位：分)的关系.若定义"速度差函数"u(x)为无人机在时间段为[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 每天，随着清晨第一缕阳光升起，北京天安门广场都会举行庄严肃穆的升旗仪式，每天升国旗的时间随着日出时间的改变而改变，下表给出了2020年1月至12月，每个月第一天北京天安门广场举行升旗礼的时间：

1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
7：36	7：23	6：48	5：59	5：15	4：48	4：49	5：12	5：41	6：10	6：42	7：16

若据此以月份(x)为横轴､时间(y)为纵轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，则适合模拟的函数模型是（）

A、

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

B、

y = k \cdot a^{x} (k \neq 0 ， a > 0

且a≠1) C、

y = A \sin (ω x + φ) + b (A ， ω \neq 0)

D、

y = k \cdot \log_{a} x (k \neq 0 ， a > 0

且a≠1)

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二、多选题

10. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是（）

A、a+c>b+d B、a-c>b-d C、ac>bd D、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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11. 关于函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x + \frac{7 π}{12})$ 是奇函数 B、 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $y = f (x)$ 图象的对称轴 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称

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12. 设非空集合S⊆R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（）

A、有理数集Q是封闭集 B、若S是封闭集，则S一定是无限集 C、 $S = {x | x = a + \sqrt{2} b ， a ， b \in Z}$ 一定是封闭集 D、若 $S_{1} ， S_{2}$ 是封闭集，则 $S_{1} \cup S_{2}$ 一定是封闭集

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三、填空题

13. 当时x≠0时 $， x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ 的最小值是.

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14. 求值： $\sin {52.5}^{°} \cos {7.5}^{°} - \cos {232.5}^{°} \sin {7.5}^{°} =$ .

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15. 用 $m i n {a ， b}$ 表示a，b中的较小者，则 $f (x) = \min {\log_{2} x ， \frac{8}{x}} (x > 0)$ 的最大值是.

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16. 放射性物质镭的某种同位素，每经过一年剩下的质量是原来的90%.若剩下的质量不足原来的一半，则至少需要（填整数）年.（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ )

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四、解答题

17.

(1)、化简 $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{4}{3}}) (a > 0 ， b > 0)$

(2)、求值 $\lg \sqrt{100} + \log_{2} (4^{3} \times 2^{2}) + {0.125}^{- \frac{1}{3}}$ .

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18. 如图，设α是任意角，α∈R，它的终边OA与单位圆相交于点A，点 $B (3 ， - \sqrt{3}) .$

(1)、当A在OB的反向延长线上时，求tanα；

(2)、当OA⊥OB时，求sin2α.

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19. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数f(x)的解析式；

(2)、当x∈[-2，2]时，求f(x)的值域.

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20. 已知f(x)是定义在R上偶函数，且当x≥0时， $f (x) = x - \frac{1}{2 x + 1} .$

(1)、用定义法证明f(x)在(0，+∞)上单调递增；

(2)、求不等式f(x)>0的解集.

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21. 如图，在扇形OAB中，半径OA=1，圆心角 $∠ A O B = \frac{π}{3} ，$ C是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，且OE=OF.记∠AOC=θ，求当角θ为何值时，矩形CDEF的面积S最大?并求出这个最大的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x - 6 ， x \leq a \\ \log_{2} (x + 2) - 3 ， x > a \end{array}$ 其中 $a \geq - 2$ .

(1)、当a=0时，求f(x)的值域；

(2)、若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

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