广东省深圳市龙岗区2020-2021学年高一上学期数学期末质量监测试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x (x + 1) \leq 0}$ ，集合 $B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 0}$ C、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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2. 设x∈R.则“ $x \leq 3$ ”是“ $x^{2} - 3 x \leq 0$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $y = \cos^{2} 4 x - \sin^{2} 4 x$ B、 $y = \sin 4 x$ C、 $y = \sin 2 x + \cos 2 x$ D、 $y = \cos 2 x$

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5. 函数 $f (x) = l n (x + 2) - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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6. 若 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos^{2} θ + \sin 2 θ$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、2

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7. a=0.7³ ， b=log_0.73，c=3^0.7（）

A、b>a>c B、a>c>b C、a>b>c D、c>a>b

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3) = f (x)$ ，当 $x \in (0$ ， $1]$ 时， $f (x) = 2^{x} + l n x$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、﹣2 B、2 C、- $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x | x |$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、 $\exists α$ ， $β$ ，使 $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ B、 $\forall α$ ， $β$ ，有 $\sin (α + β) \sin (α - β) = \sin^{2} α - \sin^{2} β$ C、 $\exists α$ ， $β$ ，使 $\cos (α + β) = \cos α + \cos β$ D、 $\forall α$ ， $β$ ，有 $\cos (α + β) \cos (α - β) = \cos^{2} α - \cos^{2} β$

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11. 已知a>b>0，且a+b=1，则（）

A、log_ab>log_ba B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} > 6$ C、a^b<b^a D、2^a-2^b>2^-b-2^-a

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6}) \cos (x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $x = - \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将函数 $g (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位后得到函数 $f (x)$ 的图象

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x + 1} - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点.

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14. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (4)$ 的值等于.

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15. 若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < π$ ）的部分图象如图所示，则函数的解析式 $f (x) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ ， $h (x) = a^{x} - 4 (a > 1)$ ．若 $\forall x_{1} \in [3 ， + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in [3 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = h (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 设全集为R，A＝{x|3<x<7}，B＝{x|4<x<10}．

(1)、求∁_R(A∪B)及(∁_RA)∩B；

(2)、若C＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A∩C＝A，求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 + x}{1 - x}$ ，其中 $a > 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并给予证明；

(3)、求使 $f (x) > 0$ 的x取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{2}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- π ， 0]$ 上的最大值和最小值.

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20. 已知 $α ， β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值。

(2)、求 $\tan (α - β)$ 的值。

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21. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式 $D = a \lg I + b (a ，$ b为非零常数 $)$ 给出，其中 $I (W / {cm}^{2})$ 为声音能量.

(1)、当声音强度 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3}$ 满足 $3 D_{1} - 2 D_{2} = D_{3}$ 时，求对应的声音能量 $I_{1} ， I_{2} ， I_{3}$ 满足的等量关系式；

(2)、当人们低声说话，声音能量为 $10^{- 13} W / {cm}^{2}$ 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为 $10^{- 12} W / {cm}^{2}$ 时，声音强度为40分贝.已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在大于100分贝小于120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

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22. 已知函数 $f_{k} (x) = a^{x} + k a^{- x}$ ，（ $k \in Z$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $f_{1} (\frac{1}{2}) = 3$ ，求 $f_{1} (2)$ 的值；

(2)、若 $f_{k} (x)$ 为定义在R上的奇函数，且 $0 < a < 1$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $f_{k} (\cos 2 x) + f_{k} (2 λ \sin x - 5) > 0$ 对任意的 $x \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ 恒成立若存在，请写出实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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