广东省深圳市宝安区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得 $A \subseteq C ， B \subseteq C_{U} C$ 是“ $A \cap B = ϕ$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + {(x - 3)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(2, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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3. 命题 $p ： \forall m \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有实根，则（）

A、 $\neg p ： \forall m \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 没有实根 B、 $\neg p ： \exists m \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 没有实根 C、 $\neg p ： \exists m \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有实根 D、 $\neg p ： \forall m \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有实根

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4. 设当 $x = θ$ 时，函数 $y = 3 \sin x - \cos x$ 取得最大值，则 $\sin θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加了（）附： $\lg 2 \approx 0.3010$

A、10% B、20% C、50% D、100%

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6. 将函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）

A、 $x = \frac{π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{12}$ D、 $x = - \frac{π}{12}$

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7. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，且 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} α + \sin 2 α}{\cos (α - \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知 $f (x) = \log_{2} (x - 1) + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ ，若 $f (x^{2} - x + 1) - 2 < 0$ ，则x的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ C、 $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ， 0) \cup (1 ， \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， 2)$

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9. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，若不等式 $\frac{m}{3 a + b} - \frac{3}{a} - \frac{1}{b} \leq 0$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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10. 函数 $y = \frac{a x}{x^{2} + 1} (a > 0)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

11. 下表表示y是x的函数，则（）

$x$

$0 < x < 5$

$5 \leq x < 10$

$10 \leq x < 15$

$15 \leq x \leq 20$

$y$

2

3

4

5

A、函数的定义域是 $(0 ， 20]$ B、函数的值域是 $[2 ， 5]$ C、函数的值域是 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、函数是增函数

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 2 ， x < 1 \\ \frac{k}{x} + k + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，（常数 $k \neq 0$ ），则（）

A、当 $k > 0$ 时， $f (x)$ 在R上单调递减 B、当 $k > - \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 没有最小值 C、当 $k = - 1$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ D、当 $k = - 3$ 时， $\forall x_{1} \geq 1$ ， $\exists x_{2} < 1$ ，有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$

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三、填空题

13. 若m，n满足m²+5m-3=0，n²+5n-3=0，且m≠n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为.

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14. 函数 $y = \log_{a} (2^{x} - 1) + 2 (a > 0, a \neq 1)$ 的图像恒过定点的坐标为.

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15. 若 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 x + m$ ( $m$ 为常数)，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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16. 幂函数 $f (x) = x^{m^{2} - 5 m + 4} (m \in Z)$ 为偶函数且在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ ， $f (\frac{1}{2}) =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \sqrt{x + a}$ ，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求a和函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在其定义域的单调性.

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18. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ $- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5}$ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= $\frac{5}{13}$ ，求cosβ的值．

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19. 某同学用“五点法”画函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})

在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{3}$		$\frac{5 π}{6}$
$A \sin (ω x + φ)$	0	5		-5	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $θ$ $(θ > 0)$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象．若 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ，求 $θ$ 的最小值．

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20. 已知不等式 $\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (7 - 2 x)$ .

(1)、求不等式的解集 $A$ ；

(2)、若当 $x \in A$ 时，不等式 ${(\frac{1}{4})}^{x - 1} - 4 {(\frac{1}{2})}^{x} + 2 \geq m$ 总成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数f (x)＝ $\frac{x}{a x + b}$ (a，b为常数，且a≠0)满足f (2)＝1，方程f (x)＝x有唯一解，

(1)、求函数f(x)的解析式；

(2)、若 $x < - 2$ ，求函数 $g (x) = x f (x)$ 的最大值.

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22. 已知定理：“若 $a$ 、 $b$ 为常数， $g (x)$ 满足 $g (a + x) + g (a - x) = 2 b$ ，则函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(a ， b)$ 中心对称”.设函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a - a^{2}}{x - a}$ ，定义域为 $A = {x | x \neq a ， x \in R}$ .

(1)、试求 $y = f (x)$ 的图象对称中心，并用上述定理证明；

(2)、对于给定的 $x_{1} \in A$ ，设计构造过程： $x_{2} = f (x_{1})$ 、 $x_{3} = f (x_{2})$ 、 $\dots$ 、 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ .如果 $x_{i} \in A (i = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ ，构造过程将继续下去；如果 $x_{i} \notin A$ ，构造过程将停止.若对任意 $x_{1} \in A$ ，构造过程可以无限进行下去，求 $a$ 的取值范围.

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$x$	$0 < x < 5$	$5 \leq x < 10$	$10 \leq x < 15$	$15 \leq x \leq 20$
$y$	2	3	4	5