广东省东莞市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {0 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0 ， 2 ， 3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、{2} D、 ${- 1 ， 1}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$ C、 $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \leq 2$ D、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$

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3. 如图是函数 $f (x)$ 的图象，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3 ， 2]$ C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$ D、若 $f (x) = 0$ ，则 $x = \frac{1}{2}$ 或2

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4. 圆心角为1弧度的扇形弧长为 $\sqrt{2}$ ，则扇形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. 2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200m³ ，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（）

A、204000元 B、228000元 C、234500元 D、297000元

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6. 使“不等式 $x^{2} - 2 x + a > 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 1$ B、 $a > 0$ C、 $a < 1$ D、 $a < 0$

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7. 如图所示的 $V e n n$ 图中， $A$ ， $B$ 是非空集合，定义集合 $A \otimes B$ 为阴影部分表示的集合.若 $A = {y | y = \log_{2} (x^{2} + 1)}$ ， $B = {x | y = \sqrt{- x^{2} - x + 2}}$ ，则 $A \otimes B$ 为（）

A、 ${x | - 2 ⩽ x < 0$ ，或 $x > 1}$ B、 ${x | - 2 ⩽ x ⩽ 0$ ，或 $x ⩾ 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \geq - 2}$

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8. 三角形ABC中， $B = \frac{π}{4}$ ， $B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{4} B C$ ，则 $\tan ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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二、多选题

9. 设 $b < a < 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $| a | + b > 0$ B、 $\frac{1}{a b^{2}} < \frac{1}{a^{2} b}$ C、 $b + \frac{1}{a} < a + \frac{1}{b}$ D、 $\ln a^{2} < \ln b^{2}$

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10. 如图是函数 $f (x)$ 的部分图象，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 \sin (\frac{3 π}{4} - 2 x)$ C、 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{3 π}{4})$ D、 $f (x) = 2 \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$

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11. 若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”.则下列函数可以作为“太极函数”的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin x + 3 \cos x$ B、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x ， x \geq 0 \\ x^{2} - x ， x < 0 \end{array}$ C、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ D、 $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x^{2} + 8 x + 1 ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array} ，$ 若存在 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ B、 $x_{3} \cdot x_{4} = 1$ C、 $2 < x_{3} + x_{4} \leq \frac{9}{4}$ D、 $0 \leq x_{1} \cdot x_{2} < \frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} ， x \leq 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array} ，$ 若 $f (a) = - 2$ ，则 $a =$ .

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15. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(1 ， 2)$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} - 2 α) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = | 2^{x} - 1 |$ ， $x \in (- 1 ， + \infty)$ ，若 $f (b) - f (a) = \frac{1}{2}$ ，则 $b - a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 \leq 3^{x} \leq 27}$ ， $B = (1 ， + \infty)$ .

(1)、求 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $C = {x | a - 4 \leq x \leq a}$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6})$ .

(1)、若 $f (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，求 $f (a)$ ；

(2)、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间.

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19. 某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如下表：

x

3

5

6

8

y

25

29

28

20

为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种 $y = f (x)$ 函数模型供选择：① $f (x) = a x^{3} + b$ ，② $f (x) = - x^{2} + a x + b$ ，③ $f (x) = a b^{x}$ .

(1)、选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；

(2)、在第（1）问的条件下，若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[0 ， m]$ 上的最大值为29，最小值为4，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，判断函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、探究函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明.

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21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为 $y = A \sin (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $b$ 的值；

(2)、盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；

(3)、在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.

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22. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cap (0 ， + \infty)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \log_{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $g (x) = x + 2^{x}$ ，存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ ，试判断 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的大小关系并证明.

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