四川省南充市2022届高考理数适应性考试（零诊）试卷

试卷更新日期：2021-11-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $z {(1 - i)}^{2} = 3 + 4 i$ ，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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2. 已知集合 $U = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {y | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ，则 $∁_{U} B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $[- 1 ， 0]$

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3. 2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7月1日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数（满分100分且每人的分值为整数）分成6组： $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法错误的是（）

A、分数的中位数一定落在区间 $[85 ， 90)$ B、分数的众数可能为97 C、分数落在区间 $[80 ， 85)$ 内的人数为25 D、分数的平均数约为85

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \geq 2 \\ x + 4 y \geq 4 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、4 D、6

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5. 一个袋中共有8个除了颜色外完全相同的球，其中白球5个，黑球3个，从袋中任取3个球，所取得3个球中恰有2个白球，1个黑球的概率为（）

A、 $\frac{15}{56}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{15}{28}$ D、 $\frac{4}{7}$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入 $N$ 的值为28，则输出 $N$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期 $T \geq \frac{3 π}{4}$ ，且 $x = \frac{7 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴， $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心，则函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \sqrt{3}]$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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9. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的下上焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作双曲线渐近线的垂线 $F_{1} P$ ，垂足为点 $P$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} a^{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，点 $M$ 是棱长为 $2$ 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包括边界）的一个动点，则三棱锥 $B - C_{1} M D$ 的体积的最大值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + \ln \frac{1 - x}{1 + x} - 2 \sin x$ ，且 $a = - f (- θ)$ ， $b = f (\sin θ)$ ， $c = f (\tan θ)$ ， $(0 < θ < \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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12. 在 $△ A B C$ 中，设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $b \sin B + 2 c \sin C = 4 a \sin A$ ，则 $\frac{S}{a^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

13. 在二项式 ${(\frac{2}{x^{2}} - x)}^{6}$ 的展开式中，常数项是.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， λ)$ .若 $\vec{c} / / (3 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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15. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上函数，且 $y = f (x - 2)$ 的图形关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x < 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为.

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16. 已知过点 $T (- 1 ， 1)$ 作抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的两条切线，切点为 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 经过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，则 ${| T A |}^{2} + {| T B |}^{2} =$ .

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三、解答题

17. 某校近期将举行秋季田径运动会，运动会设田赛和径赛两类比赛，该校对高一年级1200名学生的参与意向进行了调查（每位同学的参与意向只能选择田赛和径赛中的一个，不能都选，也不能都不选），其中男生650人，女生550人，所得统计数据如下表所示：（单位：人）

	田赛	径赛	合计
男生	590
女生		240
合计	900

（参考数据： $1230^{2} = 1512900$ ， $65 \times 55 \times 9 = 32175$ ， $1512900 \div 32175 \approx 47$ ）

附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.025	0.010	0.005
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879

(1)、请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择田赛与性别有关”？

(2)、某位同学打算参加径赛中的三个比赛项目：短跑，长跑，跨栏跑.若该同学参加短跑获奖的概率是

\frac{4}{5}

，参加长跑和跨栏跑获奖的概率都是

\frac{3}{4}

，且参加各个比赛项目是否获奖相互独立.用

ξ

表示该同学在这次运动会中获奖的项目个数，求随机变量

ξ

的分布列和数学期望.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p$ ， $q$ 为常数）.

(1)、当 $p = 1$ ， $q = 2$ 时，求数列 ${\frac{1}{4 S_{n} - 1}}$ 的前 $n$ 项之和 $T_{n}$ ；

(2)、当 $p = 2$ ， $q = 1$ 时，求 $S_{n}$ .

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $A B / / D C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $P A ⊥ A D$ ，且 $P A = A B = 2 A D = 2 D C$ ， $P B = \sqrt{2} A B$ ，点 $M$ 在线段 $P B$ 上， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B P}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $C M$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点， $P$ 为椭圆 $E$ 上任意一点， $△ P A B$ 面积的最大值为 $2$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (1 ， 0)$ 且斜率不为零的直线交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，过点 $M$ 作直线 $x = 4$ 的垂线，垂足为 $H$ ，证明：直线 $H N$ 与 $x$ 轴的交点为定点.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ， $(a \in R)$

(1)、试讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证： $\frac{4}{\ln 2} + \frac{8}{\ln 3} + \frac{12}{\ln 4} + \dots + \frac{4 n}{\ln (n + 1)} < n (n + 5)$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ \in [0 ， 2 π)$ ），在以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， - 2)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 是弦 $A B$ 的中点，求三角形 $O P M$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - a | (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $f (x) > - 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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