内蒙古赤峰市2021-2022年高三上学期理数第一次统一模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，若 ${a ， \frac{b}{a} ， 1} = {a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2020} + b^{2021}$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、-1或0

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2. 已知 $a$ 是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是纯虚数，则 $a$ 等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. “石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{7}{27}$

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4. 给定两个不共线的空间向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，定义叉乘运算： $\vec{a} \times \vec{b}$ 规定：① $\vec{a} \times \vec{b}$ 为同时与 $\vec{a} ， \vec{b}$ 垂直的向量；② $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $\vec{a} \times \vec{b}$ 三个向量构成右手系(如图1)；③ $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 如图2，在长方体中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A D = 2 ， A A_{1} = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A A_{1}}$ B、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V = (\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{C C_{1}}$ C、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A D} \times \vec{A B}$ D、 $(\vec{A B} + \vec{A D}) \times \vec{A A_{1}} = \vec{A B} \times \vec{A A_{1}} + \vec{A D} \times \vec{A A_{1}}$

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5. 定义一种运算 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，将函数 $f (x) = | \begin{matrix} 2 & 2 \sin x \\ \sqrt{3} & \cos x \end{matrix} |$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 正方体上点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 是其所在棱的中点，则直线 $P Q$ 与 $R S$ 异面的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“ $2^{p} - 1$ （p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是 $2^{2} - 1 = 3$ ， $2^{3} - 1 = 7$ ， $2^{5} - 1 = 31$ ， $2^{7} - 1 = 127$ ，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为 $2^{89} - 1$ ，则第10个梅森数的位数为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、25 B、29 C、27 D、28

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8. 如图，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象（不包括端点）与 $x$ 轴， $y$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ，与过点 $A$ 的直线另相交于 $C$ ， $D$ 两点， $E$ 为图象的最高点， $O$ 为坐标原点，则 $(\vec{B C} + \vec{B D}) \cdot \vec{O E} =$ （）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $\frac{23}{9}$ C、 $- \frac{13}{18}$ D、 $\frac{23}{18}$

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9. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ ， $e$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{2} e^{x_{1}} < x_{1} e^{x_{2}}$ B、 $x_{2} e^{x_{1}} > x_{1} e^{x_{2}}$ C、 $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} > \ln x_{2} - \ln x_{1}$ D、 $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < \ln x_{2} - \ln x_{1}$

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10. 已知 $Р$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点， $| \vec{O P} + \vec{O F_{1}} | = \frac{9}{4}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ C、点 $P$ 到双曲线 $C$ 的左焦点距离是 $\frac{23}{4}$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{45}{4}$

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11. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，且当 $x \leq 0$ 时， $f^{'} (x) < x$ ，若存在 $x_{0} \in {x | f (x) + \frac{1}{2} \geq f (1 - x) + x}$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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12. 在空间，已知直线 $l$ 及不在 $l$ 上两个不重合的点 $A$ ､B，过直线 $l$ 做平面 $α$ ，使得点 $A$ ､B到平面 $α$ 的距离相等，则这样的平面 $α$ 的个数不可能是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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二、填空题

13. 已知△ABC的周长为 $\sqrt{2}$ +1，且sinA+sinB= $\sqrt{2}$ sinC，则边AB的长为

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14. 若 $a ， b$ 分别是正数 $m ， n$ 的算术平均数和几何平均数，且 $a ， b ， - 2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $m + n - m n$ 的值是．

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15. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (2 ， 4)$ ，其欧拉线的方程为 $x - y = 0$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆方程为.

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16. 方程 $\frac{x | x |}{16} + \frac{y | y |}{9} = - 1$ 表示的曲线即为函数 $y = f (x)$ 的图象，对于函数 $y = f (x)$ ，有如下结论：
① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减；②函数 $F (x) = 4 f (x) + 3 x$ 不存在零点；③函数 $y = f (x)$ 的值域是 $R$ ；④ $f (x)$ 的图象不经过第一象限.

其中正确的命题是．（填写命题序号）

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三、解答题

17. 在① $q \cdot d = 1$ ，② $a_{2} + b_{3} = 0$ ，③ $S_{2} = T_{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的空格处：
已知 $S_{n}$ 是公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 是公比为 $q$ 的等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，_________，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 25 ， a_{2} = b_{2}$ ．是否存在正实数 $m$ ，使得对任意的正自然数 $n$ ，不等式 $m | T_{n} | < 12$ 恒成立，若恒成立，求出正实数 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别为 $B C$ 、 $P A$ 的中点，且 $A B = A C = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、设直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $α$ ，当 $α = \frac{π}{6}$ 时，求二面角 $P - B C - A$ 的大小．

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19. 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点到直线 $x - 3 y = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，抛物线 $G ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与椭圆 $E$ 的焦点重合，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过 $G$ 的焦点与 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，与 $G$ 交于 $C ， D$ 两点﹒

(1)、求椭圆 $E$ 及抛物线 $G$ 的方程；

(2)、是否存在常数 $λ$ ，使得 $\frac{1}{| A B |} + \frac{λ}{| C D |}$ 为常数？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = 4 x - a l n x - \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ，其中a为正实数．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为2，求a的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 6 - l n a$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 a \cos θ (a > 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、写出直线 $l$ 的极坐标方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(- 1, - 2)$ ，若点 $M$ 到 $A, B$ 两点的距离之积是16，求 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x - 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq x + 1$ ；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为c，实数a，b满足 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = c$ ，求证： $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 1} \geq 1$ ．

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