辽宁省六校协作体2021-2022学年高一上学期数学第一次考试试卷

试卷更新日期：2021-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列关系式中，正确的是（）

A、 $\emptyset \in {1 ， 2 ， 3}$ B、 $2 \in {(1 ， 2)}$ C、 $π \in Q$ D、 $0 \in N$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in (- \infty ， 0] ， x^{2} - 2 x - 3 > 0.$ $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， x^{2} - 2 x - 3 \leq 0.$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 0] ， x^{2} - 2 x - 3 \leq 0.$ C、 $\forall x \in (- \infty ， 0] ， x^{2} - 2 x - 3 > 0.$ D、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， x^{2} - 2 x - 3 > 0.$

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3. 设全集 $U = R ， A = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ ， $B = {x | - 1 < x < 6}$ ，则集合 ${x | - 1 < x < 3}$ 是（）

A、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ B、 $∁_{U} (A \cup B)$ C、 $(∁_{U} A) \cap B$ D、 $A \cap B$

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4. 下列命题是假命题的有（）

A、若 $x \in A$ ，那么 $x \in A \cap B$ B、若 $x \in A \cap B$ ，那么 $x \in A$ C、若 $x \in A \cap B$ ，那么 $x \in A \cup B$ D、若 $x \in A$ ，那么 $x \in A \cup B$

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5. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的两个实根， $x_{1} \cdot x_{2} = 2$ 是 $n = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知集合 $A = [- 1 ， 3] ， B = (m ， m + 1]$ ，若 $A \cup (∁_{R} B) = R$ ，那么实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 2$ B、 $- 1 \leq m \leq 2$ C、 $- 1 \leq m < 2$ D、 $- 1 < m \leq 2$

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7. 已知命题 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + (a - 2) < 0$ 为假命题的充要条件是（）

A、 $a < 3$ B、 $a \leq 3$ C、 $a > 3$ D、 $a \geq 3$

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8. 已知方程 $2 x^{2} + 3 x + m = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，方程 $2 x^{2} + 3 x + m - 1 = 0$ 有两个实根 $x_{3}$ 、 $x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ，那么 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 的大小关系为（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{2} < x_{4}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2} < x_{4}$ D、 $x_{1} < x_{3} < x_{4} < x_{2}$

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9. 方程 $\frac{x^{2} + x}{x + 1} = \frac{2 x + m}{x}$ 解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（）

A、{1} B、{2} C、{3} D、{4}

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二、多选题

10. 下列命题是真命题的有（）

A、一次函数 $y = (k + 1) x + k$ 的图像一定经过点 $(- 1 ， - 1)$ B、已知 $x ， y \in R$ ，则 $x = y$ 是 $x^{2} = y^{2}$ 的充要条件 C、外心在某条边上的三角形一定是直角三角形. D、若 $x + y$ 能被5整除，那么 $x ， y$ 都能被5整除.

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11. 已知集合A= ${x | - 7 < x < - 3}$ ，B $= {x | a - 5 < x < 1 - 2 a}$ ，下列说法正确的是（）

A、不存在实数 $a$ 使得 $A \subseteq B$ B、当 $a = 4$ 时， $B \subseteq A$ . C、当 $B \subseteq (∁_{R} A)$ 时， $a$ 的取值范围是 $a \geq 2$ D、当 $2 < a < 3$ 时， $B \subseteq A$

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12. 在整数集 $Z$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = {5 n + k | n \in Z}$ ， $k = 0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，给出如下四个结论，其中正确结论的是（）

A、 $2021 \in [1]$ B、 $- 13 \in [3]$ C、若整数 $a$ 、 $b$ 属于同一“类”，则 $a - b \in [0]$ D、若 $a - b \in [0]$ ，则整数 $a$ 、 $b$ 属于同一“类”

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三、填空题

13. 已知 ${\begin{array}{l} a + b + c = 0 \\ 2 a - b + c = 0 \end{array}$ ，那么 $\frac{a^{2}}{b c} =$ .

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14. 已知集合 ${x | x^{2} - 3 x + 2 = 0} \subseteq A \subseteq {x | 0 \leq x \leq \sqrt{11} ， x \in N}$ ，那么满足条件的集合 $A$ 的个数为.

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15. “ $- 1 < x \leq 5$ ”的一个必要不充分条件是.

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16. 若 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2025 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 4 a + b =$ .

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四、解答题

17. 已知全集是 $R$ ， $A = (a ， 5]$ ， $B = (3 ， 6]$ ， $C = (- \infty ， - 1] \cup (4 ， + \infty)$ .

(1)、求 $B \cap C$ 及 $(∁_{R} C) \cup B$

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $a$ 得取值范围.

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18. 已知集合 $M = {(x ， y) | m x + y = - 1}$ ， $N = {(x ， y) | 2 x + n y = 7}$ ，甲､乙两名同学在进行 $A \cap B$ 的运算时，甲看错了 $m$ ，解得 $A \cap B = {(2 ， 3)}$ ；乙看错了 $n$ ，解得 $A \cap B = {(3 ， 2)}$ .

(1)、求实数 $m ， n$ 的值.

(2)、求集合 $A \cap B$

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19. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ 有两个不等实根.
（Ⅰ）求实数 $m$ 的取值范围；

（Ⅱ）设方程的两个实根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - (x_{1} + x_{2}) - 12 = 0$ ，求实数 $m$ 的值；

（Ⅲ）请写出一个整数 $m$ 的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）

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20. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | x < - a - 2} ， B = {x | x \geq a + 1}$ ， $C = {x | x < 0$ 或 $x \geq 5}$ ，

(1)、若 $A \cup B = U$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、是否存在实数 $a$ 使得 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) \subseteq C$ ？若存在求出实数 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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21. 已知集合 $A = {x | - 4 < x \leq 2} ， B = {x | 2 m \leq x \leq m + 3} ， C = {x | - 2 < x < 1}$

(1)、 $p ： x \in C ， q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围.

(2)、若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围.

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22. 请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.

(1)、 $x y = 0$ 是 $x^{2} + y^{2} = 0$ 的 ▲ 条件

(2)、已知 $a ， b ， c \in R$ ，求证： $a = b = c$ 的 ▲ 条件是 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c$

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