河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

试卷更新日期：2021-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $S = {t | t = 2 n + 1 ， n \in Z}$ ， $T = {t | t = 4 n + 1 ， n \in Z}$ ， $W = {t | t = 8 n + 1 ， n \in Z}$ ，则 $(S \cap T) \cup W =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $S$ C、 $T$ D、 $W$

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2. 如果 $a > b$ ，那么下列各式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 2} > \frac{b}{c^{2} + 2}$

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3. $x (x + 3) \geq 0$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \geq - 3$ C、 $x \leq 0$ D、 $x \leq 1$

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4. 若命题“ $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ，使得 $x_{0}^{2} + m x_{0} + 2 m - 4 < 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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5. 设函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则下列函数中为偶函数的是（）

A、 $f (2 x - 1)$ B、 $f (2 x) - 1$ C、 $f (2 x + 1)$ D、 $f (x + 1) - 1$

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6. 下面命题正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 > 3 x_{0}$ ”的否定是“ $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 1 \leq 3 x$ ” B、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件 C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的充要条件是 $- 4 < k < 0$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $3 a b = a + b + 1$ ，则 $a b$ 的最小值为1

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7. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 3 > 0 \\ 2 x^{2} + (k + 2) x + k < 0 \end{array}$ 仅有一个整数解，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 10 ， - 8) \cup (4 ， 6)$ B、 $[- 10 ， - 8) \cup (4 ， 6]$ C、 $(- 10 ， - 8] \cup [4 ， 6)$ D、 $[- 10 ， - 8] \cup [4 ， 6]$

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，若对任意 $x \in [0 ， t - 1]$ ，均有 $f (x - t) \geq \sqrt{2} f (x)$ 则实数 $t$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = k x + b$ ．若 $f (0) + f (3) = 8$ ，则 $f (\frac{11}{2}) =$ （）

A、-4 B、-3 C、3 D、4

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10. 下列函数中最小值为 $4$ 的是（）

A、 $y = 4 x + \frac{1}{x}$ B、当 $x > 0$ 时， $y = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x + 1}$ C、当 $x < \frac{3}{2}$ 时， $y = 2 x - 1 + \frac{1}{2 x - 3}$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 5} + \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 5}}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、幂函数 $y = x^{α}$ 始终经过点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， 1)$ B、若函数 $f (x) = x^{3}$ ，则对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、若函数 $f (x) = x^{α}$ 图像经过点 $(9 ， 3)$ ，则其解析式为 $y = \sqrt{x}$ D、若函数 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ ，则函数 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ 是偶函数且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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12. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，定义函数： $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $1$ ，最小值为 $0$ B、 $f (- \frac{1}{3}) < f (\frac{1}{3})$ C、方程 $f (x) - \frac{1}{2021} = 0$ 有无数个根 D、函数 $f (x)$ 在定义域上是单调递增函数

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{(x - 2) {(x - 3)}^{2}}}$ ，则其定义域为．

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14. 用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ ．若函数 $f (x) = \frac{4}{x + 2}$ ， $g (x) = x + 2$ ，则 $\min {f (x) ， g (x)}$ 的最大值为．

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15. 已知定义域为 $[1 - 3 a ， a + 1]$ 的奇函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + x$ ，则 $f (3 x + b) + f (x + a) \geq 0$ 的解集为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a + 1) x + 2 a ， x < 1 \\ x^{2} + 2 (a - 1) x + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ 满足：对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，那么实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 a x + (a^{2} - 4) \leq 0}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 6}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、从① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap ∁_{R} B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：若_________，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 2 m + 1) x^{3 k - k^{2} + 4} (k \in Z)$ 是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (3 x + 2) > f (1 - 2 x)$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 + 3 a) x + 5$ ， $x \in [0 ， 3]$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为14，求实数 $a$ 的值．

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 5 x + (b + 4) > 0$ 的解集为 ${x | x < 2$ 或 $x > 3}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x + y > 0$ ， $z > 0$ 且满足 $\frac{a}{x + y} + \frac{b}{z} = 1$ 时，有 $x + y + 2 z \geq 2 k^{2} - 3 k + 4$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产 $x$ 万件，需另投入成本为 $C (x)$ ．当年产量不足60万件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 380 x$ （万元）；当年产量不小于60万件时， $C (x) = 410 x + \frac{81000}{x} - 3000$ （万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润 $=$ 销售收入 $-$ 总成本）

(1)、写出年利润 $L$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、设 $g (x) = k x^{2} + 2 k x + 1 (k \neq 0)$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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