江西省南昌市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x \leq - 1$ C、 $x > - 1$ D、 $x \neq - 1$

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2. 下列等式中，运算正确的是（）．

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} \div a^{- 1} = a^{2}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 2 a^{6}$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$

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3. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D ， $D E / / A B$ ，交 $A C$ 于点E ，若 $D E = 3$ ，则 $A B$ 的长为（）．

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 将一个四边形 $A B C D$ 的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）．

A、180° B、180°或360° C、360°或540° D、180°或360°或540°

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5. 若分式 $\frac{x^{2}}{x - 1} □ \frac{x}{x - 1}$ 运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（）

A、+ B、- C、-或÷ D、+或×

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6. 4张长为a、宽为 $b (a > b)$ 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 $(a + b)$ 的正方形，图中空白部分的面积为 $S_{1}$ ，阴影部分的面积为 $S_{2}$ ．若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，则a、b满足（）

A、 $2 a = 5 b$ B、 $2 a = 3 b$ C、 $a = 3 b$ D、 $a = 2 b$

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二、填空题

7. 计算： $a (a - b) + a b =$ ．

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8. 等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的底角度数是.

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9. 如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D ， ∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是．

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10. 化简： ${(a - \frac{1}{2})}^{2} =$ ．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点A的坐标 $(- 2 ， 1)$ ， $O B = 1$ ，则点C的坐标为．

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12. 若分式 $\frac{6}{x + 1}$ 的值为正整数，则整数x的值为．

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三、解答题

13. 计算：

(1)、 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ ；

(2)、 $(x + 3) (x - 2) - x (x - 1)$ ．

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14. 解分式方程： $\frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4 - 2 x} = 1$ ．

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15. 先化简， $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，再从 $- 1 ， 0 ， 1$ ，2中选择一个合适的数代入求值．

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16. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求下列各代数式的值：

(1)、 $a^{2} + b^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ．

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17. 从三个整式；① $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，② $3 a - 3 b$ ，③ $a^{2} - b^{2}$ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．

(1)、一共能得到个不同的分式；

(2)、这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．

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18. “垃圾分一分，环境美十分”，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．

(1)、求购买一个A型垃圾桶，B型垃圾桶各需多少元？

(2)、由于实际需要，学校决定再次购买与第一次同样数量的A型和B型两种分类垃圾桶，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了10%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，第二次购买A型和B型两种分类垃圾桶一共花了多少钱？

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19. 观察下列关于自然数的等式：
第1个等式： $4^{2} - 9 \times 1^{2} = 7$ ；

第2个等式： $7^{2} - 9 \times 2^{2} = 13$ ；

第3个等式： $10^{2} - 9 \times 3^{2} = 19$ ；

第4个等式： $13^{2} - 9 \times 4^{2} = 25$ ；

……

根据上述规律解决下列问题：

(1)、写出第5个等式；

(2)、写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证你写的等式；

(3)、在这n个等式中，等式右边结果能否是2021？请说明理由．

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20. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如： $\frac{5}{x + 1} + \frac{5 x}{x + 1} = 5$ ，我们称两个分式 $\frac{5}{x + 1}$ 与 $\frac{5 x}{x + 1}$ 互为“5和分式”．解答下列问题：

(1)、分式 $\frac{4}{x + 1}$ 与分式互为“4和分式”；

(2)、分式 $\frac{2 x}{x + y}$ 与分式 $\frac{2 y}{x + y}$ 互为“和分式”；

(3)、已知 $x y = 1$ ，两个分式 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{y + 1}$ 是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；

(4)、若分式 $\frac{3 x}{x + y^{2}}$ 与 $\frac{3 y}{x^{2} + y}$ 互为“3和分式”（其中x ， y为正数），求 $x y$ 的值．

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21. 有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 及 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ．

(1)、 $a_{1} h_{1} =$ ， $a_{2} h_{2} =$ ， $a_{3} h_{3} =$ ．
如果 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ ，则用 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ 填空：＜＜；

(2)、如果 $a_{1} = m$ ， $a_{2} = m + 1$ ， $a_{3} = m + 2$ （ $m > 0$ ），试比较 $h_{1} - h_{2}$ ， $h_{2} - h_{3}$ 的大小；

(3)、如果 $a_{1} = n (n + 1)$ ， $a_{2} = (n + 1) (n + 2)$ ， $a_{3} = (n + 2) (n + 3)$ （ $n > 0$ ）．求 $h_{1} + h_{2} + h_{3}$ 的值（用含n的代数式表示）．

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