辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若数组 $\vec{a} = (- 2$ ，1， $3)$ 和 $\vec{b} = (1$ ， $- \frac{1}{2}$ ， $x)$ 满足 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ ，则实数 $x$ 等于（）

A、-3 B、-2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 若 $\vec{a} = (2 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 ， z)$ ， $< \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，则 $z$ 等于（）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $- \sqrt{22}$ C、 $\pm \sqrt{22}$ D、 $\pm \sqrt{42}$

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3. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (3 ， - 1 ， 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， 3 ， - 1)$ ，则（）

A、 $l / / α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l$ 与 $α$ 斜交

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4. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为1，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B} ， \vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，则 $\vec{E F} \cdot \vec{D C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0) ， \vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $\vec{c} = (4 ， 6 ， 4)$ 与 $k \vec{a} + \vec{b}$ 平行，则 $k$ 的值是（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、-3 D、3

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6. 笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， - 1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1 ， 1)$ C、 $(1 ， - 1 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 1 ， - 1)$

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7. 已知四面体 $O A B C$ 各棱长为 $1$ ， $D$ 是棱 $O A$ 的中点，则异面直线 $B D$ 与 $A C$ 所成角的余弦值（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面ABC， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = 4$ ， $∠ P B C = 60^{\circ}$ ，则点C到平面PAB的距离是 $($ $)$

A、 $\frac{3 \sqrt{42}}{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{42}}{7}$ C、 $\frac{5 \sqrt{42}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{42}}{7}$

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二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F、G、H分别为 $A B$ 、 $C C_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $A_{1} E ⊥ A C_{1}$ B、 $B F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ C、 $B F ⊥ D G$ D、 $A_{1} E / / C H$

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10. 已知点P是平行四边形 $A B C D$ 所在的平面外一点，如果 $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{A D} = (4 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ .对于结论：① $A P // A B$ ；② $A P ⊥ A D$ ；③ $\vec{A P}$ 是平面 $A B C D$ 的法向量；④ $\vec{A P} // \vec{B D}$ .其中正确的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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11. 在以下命题中，不正确的命题有（）

A、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ 是 $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线的充要条件 B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + 2 \vec{O B} - 3 \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间的另一个基底

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12. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角 $A - B D - C$ ，有如下四个结论：① $A C ⊥ B D$ ；② $△ A C D$ 是等边三角形；③ $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ；④ $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ .其中正确的结论有（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 已知平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， - 2 ， 3)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $x =$ ；

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14. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，以下向量可以作为平面 $A B C$ 法向量的是． (填序号)
① $\vec{A B}$ ；② $\vec{A A_{1}}$ ；③ $\vec{B_{1} B}$ ；④ $\vec{A_{1} C_{1}}$ .

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15. 已知 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， 6) ， \vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2) ， \vec{c} = (7 ， 5 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 三向量共面，则 $λ =$ .

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16. 在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 3$ ，则 $C D =$

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的正方形，侧棱 $P A$ 的长为2，且 $P A$ 与 $A B$ 、 $A D$ 的夹角都等于60°， $M$ 是 $P C$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $B M$ 的长.

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18. 已知向量 $\vec{a}$ =(1,-3,2), $\vec{b}$ =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)、求|2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |;

(2)、在直线AB上,是否存在一点E,使得 $\vec{OE}$ ⊥ $\vec{b}$ ?(O为原点)

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19. 如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠ABC＝ $\frac{π}{2}$ ，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB₁＝2.

(1)、求证：AB₁∥平面BC₁D；

(2)、求异面直线AB₁与BC₁的夹角．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D ， E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1 C E = 2 ， M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面 $P A C ⊥$ 平面ABC， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $P A = A C = 2 B C$ .

(1)、若 $P A ⊥ P B$ ，求证：平面 $P A B ⊥$ 平面PBC；

(2)、若PA与平面ABC所成的角为60º，求二面角C-PB-A的余弦值.

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22. 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C ⊥ F B$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面FBC；

(2)、线段ED上是否存在点Q，使平面 $E A C ⊥$ 平面QBC？证明你的结论.

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