江苏省南京市六校2021-2022学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 的斜率和它在 $y$ 轴上的截距分别为（）

A、2，1 B、 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$ ， $- \frac{1}{3}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $(a^{2} - a - 2) + (a + 1) i$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、1或2 B、2 C、 $-$ 1或2 D、1

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3. 若直线 $a x + y - a + 1 = 0$ 与直线 $(a - 2) x - 3 y + a = 0$ 垂直，则实数a的值为（）

A、-1或3 B、1或-3 C、-1或-3 D、1或3

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4. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之积是6的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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5. 已知点 $A (5 ， 7)$ 与点 $B$ 关于直线 $l$ ： $y = x + 1$ 对称，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(7 ， 6)$ B、 $(4 ， 7)$ C、 $(6 ， - 7)$ D、 $(6 ， 6)$

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6. 已知直线 $x - y + m = 0 (m \in R)$ 与圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $C$ 为圆心，当 $△ A B C$ 的面积最大时，实数 $m$ 的值为（）

A、±2 B、-3或1 C、0或1 D、-1或3

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7. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = - \sqrt{2 - y^{2}}$ 有且仅有一个公共点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $- \sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$ B、 $b = 2$ C、 $- \sqrt{2} \leq b < \sqrt{2}$ 或 $b = 2$ D、 $- \sqrt{2} < b \leq \sqrt{2}$ 或 $b = 2$

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8. 已知焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点，且满足 $2 | P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的实轴长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 设 $m$ ， $n$ 为不重合的两条直线， $α$ ， $β$ 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ 且 $n / / α$ ，则 $m / / n$ ； B、若 $m ⊥ α$ 且 $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ ； C、若 $m / / α$ 且 $m / / β$ ，则 $α / / β$ ； D、若 $m ⊥ α$ 且 $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ .

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10. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（）

A、女生人数多于男生人数 B、D层次男生人数多于女生人数 C、B层次男生人数为24人 D、A层次人数最少

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11. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（）

A、设 $A$ ， $B$ 为两定点， $m > 0$ ，动点 $P$ 满足 $| | P A | - | P B | | = m$ ，则动点 $P$ 的轨迹是双曲线 B、方程 $x^{2} - 5 x + 2 \sqrt{3} = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点 D、若双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | = \frac{5}{2}$ ，则 $| P F_{2} | = \frac{1}{2}$ 或 $| P F_{2} | = \frac{9}{2}$

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12. 若直线 $x + y + m = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 可作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ ，则实数 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、0 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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三、填空题

13. 若直线l： $(m + 2) x + (1 - 2 m) y + 4 m - 2 = 0$ 恒过定点，则定点坐标为.

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14. 试写出一个焦点坐标为 $(0 ， \pm 1)$ 的椭圆的标准方程：.

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15. 已知两定点 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ，如果动点 $P$ 满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，则点 $P$ 的轨迹所包围的图形的面积等于.

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16. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ ，则 $x$ 的取值范围为； $x^{2} + 2 x + y^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ 的方程为： $x^{2} + y^{2} - 2 m x - 4 y + 6 m - 9 = 0 (m \in R)$ .

(1)、试求 $m$ 的值，使圆 $C$ 的周长最小；

(2)、求与满足（1）中条件的圆 $C$ 相切，且过点 $(1 ， - 2)$ 的直线方程.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (m ， n)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在直线的一般方程；

(2)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 的方程为 $x - 2 y + t = 0 (t \in R)$ ，且 $△ A B C$ 的面积为4，求点 $A$ 的坐标.

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19. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $E$ 为 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $E O //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、 $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ．

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20.

(1)、求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；

(2)、求与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共渐近线，且焦距为 $6 \sqrt{2}$ 的双曲线的方程.

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21. 已知圆 $C$ 经过点 $(0 ， - \sqrt{3})$ ， $(0 ， \sqrt{3})$ 及 $(3 ， 0)$ .经过坐标原点 $O$ 的斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P (- 3 ， 0)$ ，分别记直线 $P M$ ､直线 $P N$ 的斜率为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值.

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22. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.

(1)、若 $a = \sqrt{5}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围.

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