河南省新郑市2021-2022学年高二上学期理数第一次阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p$ ：“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”，记命题 $p$ 的逆命题为 $q$ ，则 $p$ 与 $q$ 的真假性为（）

A、 $p$ 真 $q$ 真 B、 $p$ 真 $q$ 假 C、 $p$ 假 $q$ 真 D、 $p$ 假 $q$ 假

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2. 已知 $p$ ： $\log_{\frac{1}{2}} x < 0$ ， $q$ ： $x^{2} - 2 x < 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $n a_{n} = {(- 1)}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $3 - m a_{1} + a_{n} \geq 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数m的最小值是（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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4. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为实数，满足 $a - b > 0$ ， $b - c > 0$ ， $c - d > 0$ ， $a b > 0 > b c$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $c^{2} - c d > 0$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$ C、 $a c - b d > 0$ D、 $a - c < b - d$

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5. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{2}^{2} + a_{9}^{2} = 85$ ， $a_{3} + a_{8} = 11$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、1 B、2 C、 $n$ D、 $2 n - 1$

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6. 若 $\forall x \in [1 ， 5]$ ，不等式 $a x - 2 \leq 0$ 不成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | a \geq \frac{2}{5}}$ B、 ${a | a > 2}$ C、 ${a | a < 2}$ D、 ${a | a \leq \frac{2}{5}}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\frac{A C}{B C} = \sqrt{2}$ ，若 $B = \frac{π}{4}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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8. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + | 2 x + m | \leq 4$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 ， 5]$ B、 $[- 5 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 5]$ D、 $[4 ， 5]$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \cdot q$ （ $q$ 为非零常数）， $\frac{a_{51}}{a_{50}} \cdot \frac{a_{52}}{a_{51}} = 2^{\frac{1}{50}}$ ，则 $a_{101} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2^{100}}$ C、1024 D、 $\frac{1}{2^{50}}$

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10. 如图所示，点 $A$ 是等边 $△ B C D$ 外一点，且 $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $A D = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3} + 2$

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11. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a b} - b$ 的最大值是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $3 a_{1} = 1$ ， $n^{2} a_{n + 1} - a_{n}^{2} = n^{2} a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则下列选项正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递减数列 B、 ${a_{n}}$ 是递增数列，且存在 $n \in N^{*}$ 使得 $a_{n} > 1$ C、 $\frac{1}{a_{n + 1}} > \frac{3}{2}$ D、 $a_{2021} < \frac{2021}{4043}$

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R$ ， $\lg (a x^{2} - 2 x) + 1 > 0$ ”的否定是（写出命题的否定形式）.

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14. 2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆·唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的坡角为 $15 °$ ，斜坡上某一位置A与旗杆 $C D$ 在同一个垂直于地面的平面内，如果在A处和坡脚 $E$ 处测得旗杆 $C D$ 顶端的仰角分别为 $30 °$ 和 $60 °$ ，且 $A E = 6 \sqrt{6}$ 米，则旗杆的高度为米.

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15. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 1 ， \\ 2 x + y \geq - 1 ， \\ x y \leq 0 ， \end{array}$ 若 $z = x + (a - 2) y$ 有最小值，则 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + 1 = a_{n + 1}$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 6$ ，当 $1 \leq n \leq 2020$ ， $n \in N^{*}$ 时，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{20} =$ .（备用公式 $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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三、解答题

17. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{b + 1} = 1$ ，求证： $a + b \geq \frac{3}{2}$ .

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18. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + a^{2} - 1 > 0$ ，命题 $p$ 为真命题，实数 $a$ 的取值集合为 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设集合 $B = {x | m - 4 \leq x \leq 1 - 2 m}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知锐角 $△ A B C$ ，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $2 a \sin B - \sqrt{3} b = 0$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} c$ ，求 $b$ 的值；

(2)、若 $b^{2} = \frac{1}{2} c^{2} + a^{2}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 已知数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ ， $n \in N^{*}$ 是首项为2，公差为2的等差数列.其中 $a_{1} = 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{3 a_{n + 1} \cdot a_{n}}{b_{n + 1} \cdot b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户将自己的一块直角三角形地按如图规划成3个功能区： $△ B N C$ 区域规划建设果园和养殖土鸡土鸭等， $△ C M A$ 区域规划建设小型鱼塘养鱼供休闲垂钓. $△ M N C$ 区域规划为农家乐区域，规划建餐厅、儿童小型乐园以及住宿农舍.为安全起见，在农家乐区域 $△ M N C$ 周围筑起护栏.已知 $A C = 40 m$ ， $B C = 40 \sqrt{3} m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ M C N = 30^{\circ}$ .

(1)、若 $A M = 20 m$ 时，求护栏的长度（ $△ M N C$ 的周长）；

(2)、为了更大区域的进行养殖和发展三农产业，规划使得农家乐 $△ M N C$ 区域占地面积最小，怎样设计 $∠ A C M$ 的大小，使 $△ M N C$ 的面积最小，并求出最小面积是多少？

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22. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q \in N^{*}$ ，且 $(a_{1} - 1) a_{3} = 8$ ， $a_{1} + a_{2}^{2} = 18$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $(b_{n + 1} - 1) (b_{n} + 3) = - 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $n \geq 2$ 时，求 $a_{2} b_{2} + \frac{a_{3} b_{3}}{2} + \frac{a_{4} b_{4}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n + 1} b_{n + 1}}{n}$ .

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