河南省创新发展联盟2021-2022学年高二上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 5}$ ， $B = {x | x^{2} - 6 x - 7 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \leq - 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 5}$ C、 ${x | x \leq - 7}$ D、 ${x | - 7 \leq x < 5}$

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2. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} = \frac{1}{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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3. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\frac{b}{c} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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4. 下列数列是递增数列的是（）

A、 ${1 - 3 n}$ B、 ${3^{n} - 2^{n + 2}}$ C、 ${2^{n} - n}$ D、 ${{(- 3)}^{n}}$

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5. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，其中 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 ${(a - b)}^{2} > a - b$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{b}{a}$ D、 ${(1 + a - b)}^{a} > {(1 + a - b)}^{b}$

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6. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，且 $a_{1} > 0$ ，则（）

A、 $a_{n} + 1$ 为等比数列 B、 $a_{n} + 2$ 为等比数列 C、 $a_{n} - 1$ 为等比数列 D、 $a_{n} - 2$ 为等比数列

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ， $3 < a_{4} < 5$ ，则 $a_{7}$ 的取值范围是（）

A、 $(6 ， 11)$ B、 $(5 ， 11)$ C、 $(6 ， 12)$ D、 $(5 ， 10)$

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8. 二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党100周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场 $A$ 地测得纪念塔顶端 $D$ 仰角为 $45 °$ ，乙同学在二七广场 $B$ 地测得纪念塔顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，塔底为 $C$ （ $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一水平面上， $C D ⊥$ 平面 $A B C$ ），量得 $A B = 63$ 米， $∠ A C B = 30 °$ ，则纪念塔的高 $C D =$ （）

A、 $40 \sqrt{3}$ 米 B、 $68 \sqrt{3}$ 米 C、40米 D、63米

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9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 4$ ， $S_{6} = 12$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、28 B、36 C、 $\frac{146}{3}$ D、 $\frac{292}{3}$

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{T_{n}} = \frac{8 n}{3 n + 5}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{9}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{32}{17}$ C、 $\frac{16}{7}$ D、2

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11. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 ， \\ 2 x + y - 2 \geq 0 ， \\ x - 2 y + 4 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{5}}{7} ， \frac{14 \sqrt{13}}{13}]$ B、 $[2 ， \frac{14 \sqrt{13}}{13}]$ C、 $[2 ， \frac{170}{13}]$ D、 $[2 ， \frac{7 \sqrt{5}}{10}]$

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12. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，现有下列四个命题：
①存在 $△ A B C$ ，使得 $a = b = c = \sin 2 A$ ；②存在 $△ A B C$ ，使得 $\sin^{2} B = \sin A \sin C$ ，且 $a \neq c$ ；③存在 $△ A B C$ ，使得 $C = 2 A$ ，且 $a + c = 2 b$ ；④存在 $△ A B C$ ，使得 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ，且 $C > \frac{π}{3}$ .其中所有真命题的序号是（）

A、①② B、②④ C、①②③ D、①③④

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 ， \\ x - y - 4 \leq 0 ， \\ y - 4 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x - y$ 的最小值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $\tan A = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 若 $x + \frac{5}{y} = \frac{1}{2}$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ），则 $5 y + \frac{1}{x}$ 的最小值为.

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16. 一张 $B 4$ 纸的厚度为 $0.092 mm$ ，将其对折后厚度变为 $0.184 mm$ ，第2次对折后厚度变为 $0.368 mm$ ，….设 $a_{1} = 0.184$ ，第 $n$ （ $n \geq 2$ ）次对折后厚度变为 $a_{n} mm$ ，则 $a_{5} =$ ，数列 ${a_{n} [2 {(n + 1)}^{3} - n^{3}]}$ 的前 $n - 1$ （ $n \geq 2$ ）项和为.

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三、解答题

17. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边.已知 $a = 3 \sin B$ ， $b = \sin A$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知集合 ${x | a x^{2} + a x + 1 \leq 0} = \emptyset$ .

(1)、求整数 $a$ 的取值集合；

(2)、若整数 $a$ 的最大值为 $m$ ，正数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} + 4 q^{2} = m$ ，求 $p q$ 的最大值.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 不是常数列， $a_{1} = 2$ ，且 $2 a_{2}$ 是 $6$ 和 $a_{3}$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2 n + 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知 $a$ 为非零实数.

(1)、若 $a > 0$ ，比较 $a$ 与 $\frac{2}{a}$ 的大小；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a^{2} + 2) x + 2 a \geq 0$ 的解集.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = {(\sqrt{3})}^{n^{2} + n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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22. 如图，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ， $∠ B A C = ∠ C A D$ ， $△ A C D$ 的面积为 $24 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $A D$ ；

(2)、若 $∠ A E D = \frac{π}{3}$ ，求 $2 A E + D E$ 的最大值，并求此时 $\cos ∠ A D E$ 的值.

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