河南省2021-2022学年高二上学期理数阶段性测试试卷（一）

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 猜想数列 $- \frac{2}{3} ， \frac{8}{5} ， - \frac{26}{7} ， \frac{80}{9} ， \cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式为 $a_{n} =$ （）

A、 ${(- 1)}^{n} \frac{3 n - 1}{2 n + 1}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n}{2 n + 1}$ C、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2^{n} - 1}{2 n + 1}$ D、 ${(- 1)}^{n} \frac{3^{n} - 1}{2 n + 1}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 a \cos C = b ，$ 则此三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列 $a_{5} = 8 a_{2} ， a_{1} + a_{2} = 12 ，$ 则 $a_{1} =$ （）

A、4 B、-2 C、-6 D、8

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} ， S_{3} ， S_{5}$ 成等差数列，且 $a_{1} = 10$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为各项都是正数的等比数列， $a_{6} \cdot a_{8} = 16 a_{5}^{2}$ ，则 $\frac{a_{4} + a_{7}}{a_{5} + a_{8}} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $B = \frac{2 π}{3} ， b = \sqrt{3} a ， c = 6$ ，则 $b =$ （）

A、8 B、12 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + {log}_{2} (1 + \frac{1}{n})$ ，若 $a_{k} = 3 a_{2}$ ，则正整数 $k =$ （）

A、33 B、32 C、16 D、15

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8. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} + a_{4} + a_{7} = 9 ， a_{2} + a_{5} + a_{8} = 18 ，$ 则 $S_{9} =$ （）

A、27 B、36 C、63 D、72

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $a = 1 ， b = 3 ， c = 13$ ，则最大角为 $150 °$ B、若 $b = \sqrt{6} ， c = 2 ， B = 60 °$ ，则 $C = 30 °$ C、若 $a \cos A = b \sin B ，$ 则 $\sin A \cos A + \cos^{2} B = 1$ D、若 $A = 120^{\circ} ， c = 5 ， a = 7$ ，则 $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{2}{5}$

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10. 下面每个图形都是由边长为的1小正方形组成的，按照其规律，第10个图形中长度为1的线段条数为（）

A、180 B、200 C、220 D、240

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11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 和为 $T_{n}$ ，已知 $a_{5} = 11 ， S_{10} = 120 ， b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，若 $T_{k} = \frac{1}{7}$ ，则正整数 $k$ 的值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b = 4 ， A = \frac{2 π}{3} ， c t a n C = \frac{2}{3} a s i n B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、6 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 a_{4} - a_{6} + 3 a_{8} = 15$ ，则 $S_{11} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin A = 2 \sin B ， c^{2} - b^{2} = a b$ ，则 $C =$ ．

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15. 在平面凸四边形 $A B C D$ 中， $B C = 3 \sqrt{3} + 4 ， A B = 8 ， A C = 5 \sqrt{3} ， C D = 25 \sqrt{6}$ 且 $∠ B C D = 135 ° ，$ 则 $∠ C A D =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = a_{n + 1} (a_{n} + 2) (n \in N *)$ .且 $a_{1} > 0$ ，若 ${a_{n}}$ 中恰有4项大于 $\frac{1}{20}$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = - 7 ， a_{6} + a_{7} + a_{8} = 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及 $S_{n}$ 的最小值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $sin A = 2 \sqrt{3} {cos}^{2} \frac{B + C}{2}$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $c = 4 ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 10$ ，求 $sin B$ 的值.

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19. 已知某水产养殖场的形状是直角梯形，如图 $A B D C ， A B / / C D ， A B ⊥ B D ， A B = 20$ m， $C D = 50$ m， $B D =$ 60m.养殖场内沿线段 $A D ， C H ， B H$ 拉了三张网，把养殖场隔成了四个区域，其中 $C H ⊥ D A$ 于点 $H$ .

(1)、求 $∠ C A D$ 的大小；

(2)、求线段 $B H$ 的长.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $(n + 1) a_{n} = n a_{n + 1}$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n} \cdot (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $B$ 为锐角，且 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \sin B = \sqrt{3} a c \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $c - 2 a$ 的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项都为正整数的等比数列， $a_{1} = 3 ，$ 且 $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 与 $\frac{3}{4} a_{4}$ 的等差中项，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1 ， b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $k \cdot \frac{b_{n} + 5}{2} - a_{n} \geq 8 n + 2 k - 24$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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