河北省省级联测2021-2022学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 相交于点 $O$ ，则下列向量能组成一组基底的为（）

A、 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ B、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A O}$ ， $\vec{A C_{1}}$ C、 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A_{1} C_{1}}$ ， $\vec{A C}$ D、 $\vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A O}$ ， $\vec{A C}$

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2. 过点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 1 ， \sqrt{3})$ 的直线的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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3. 在空间直角坐标系中，记点 $M (- 1 ， 1 ， 2)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $N$ ，关于 $y O z$ 平面的对称点为 $P$ ，则线段 $N P$ 中点坐标为（）

A、 $(1 ， 0 ， 0)$ B、 $(- 1 ， - 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 0 ， 1)$ D、 $(0 ， 0 ， 0)$

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4. 已知空间直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $P$ 的坐标为 $(0 ， - 3 ， 4)$ ，则 $P$ 到原点 $O$ 的距离与 $P$ 到平面 $x O y$ 的距离之和为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，能得到 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4 ， 4)$ B、 $\vec{a} = (- 2 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2 ， 10)$ C、 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 0 ， 0)$ D、 $\vec{a} = (- 2 ， 3 ， 5)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3 ， 5)$

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6. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且法向量为 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ 的平面方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (μ ， ν ， ω) (μ ν ω \neq 0)$ 的直线 $l$ 方程为 $\frac{x - x_{0}}{μ} = \frac{y - y_{0}}{ν} = \frac{z - z_{0}}{ω}$ ．已知：在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $P (0 ， 0 ， 1)$ ，经过点 $P$ 的平面 $α$ 的方程为 $x + y + 2 z - 2 = 0$ ，经过点 $P$ 的直线 $l$ 方程为 $\frac{x}{2} = y = 1 - z$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{14}$

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7. 已知两点 $M (2 ， - 3)$ ， $N (- 3 ， - 2)$ ，直线 $l$ ： $a x + y - 1 - a = 0$ 与线段 $M N$ 相交，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 4] \cup [\frac{3}{4} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4} ， 4]$ D、 $[- 4 ， \frac{3}{4}]$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，使得平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，过 $B C$ 的平面与 $P D$ 交于 $M$ ，则 $△ M B C$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的有（）

A、 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，若 $α / / β$ ，则 $\vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}}$ B、 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，若 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ ，则 $α ⊥ β$ C、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $l / / α$ D、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $〈 \vec{n} ， \vec{a} 〉 = 120 °$ ，则 $l$ 与平面 $α$ 所成角为 $60 °$

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $x \sin α + y = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 3 y + c = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 可能相交 B、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 可能重合 C、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 可能平行 D、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 可能垂直

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11. 在菱形 $A B C D$ 中，若 $\vec{P A}$ 是平面 $A B C D$ 的法向量，则以下结论一定成立的是（）

A、平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ B、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ C、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ D、平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$

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12. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、 $\vec{A D_{1}} / / (\vec{B_{1} B} + \vec{B C})$ B、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} B})}^{2} = 3 {\vec{A_{1} B}}_{1}^{2}$ C、 $\vec{A C_{1}} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A D}) = 0$ D、 $| \vec{A C_{1}} | = 3$

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三、填空题

13. 过点 $P (- 1 ， 3)$ ，与直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为．

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14. 已知 $A (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (1 ， 0 ， 1)$ ， $D (x ， 1 ， 2)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面，则 $x =$ ．

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15. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为．

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16. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知 $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 4)$ ．过 $O$ 作 $O H ⊥$ 平面 $A B C$ 于点 $H$ ，则点 $H$ 的坐标为．

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四、解答题

17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为4，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，且 $∠ C_{1} C B = 60 °$ ，已知 $O$ 是 $B C$ 的中点．以 $O C_{1}$ ， $O B$ ， $O A$ 所在直线分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴建立空间直角坐标系．

(1)、求向量 $\vec{B A_{1}}$ ， $\vec{A C_{1}}$ 的坐标；

(2)、求异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成角的大小．

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18. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $P (1 ， 2)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 分别与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴交于 $A$ 、 $B$ 点，当 $△ A O B$ 面积最小时，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $P A = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $H$ 在线段 $P D$ 上且 $D H = \frac{1}{4} D P$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A P}$ 表示向量 $\vec{E H}$ ；

(2)、求向量 $\vec{E H}$ 的模长．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $B B_{1} = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $B_{1}$ 在平面 $A B C$ 的射影 $H$ 为 $B C$ 中点，以 $H$ 为坐标原点， $\vec{H C}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向， $\vec{H B_{1}}$ 的方向为 $z$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 $H - x y z$ ．

(1)、分别求 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 点坐标；

(2)、求四棱锥 $B - A C C_{1} A_{1}$ 的高．

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21. 如图， $A D / / B C$ 且 $A D = 2 B C = 2$ ， $A D ⊥ C D$ ，平面 $A D G E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A D G E$ 为矩形， $C D / / F G$ 且 $C D = 2 F G = 2$ ．

(1)、若 $M$ 为 $C F$ 的中点， $N$ 为 $E G$ 的中点，求证： $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若 $C F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为2，求直线 $A D$ 到平面 $E B C$ 的距离．

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22. 已知如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ 且 $A B = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起使 $A D = \sqrt{2}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D E$ ，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，求解下列问题：

(1)、求证： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、在线段 $A C$ 上是否存在一点 $P$ ，使得平面 $A B D$ 与平面 $P B D$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{7}$ ？若存在，请求出 $\frac{P A}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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