安徽省江淮名校2021-2022学年高二上学期数学第一次阶段检测试卷

试卷更新日期：2021-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，已知 $P (0 ， 0 ， 5)$ ， $Q (3 ， 4 ， 5)$ ，则线段 $P Q$ 的长为（）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{35}$

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2. 直线l的倾斜角等于直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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3. 已知平面 $α$ 内有一点 $P (3 ， - 2 ， 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1 ， 1 ， - 2)$ ，则下列各点在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(4 ， - 3 ， 2)$ B、 $(2 ， - 1 ， 2)$ C、 $(4 ， - 1 ， 0)$ D、 $(2 ， - 3 ， 0)$

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4. 已知平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{m} = (- 2 ， - 1 ， 2)$ ，点 $A (3 ， 4 ， - 1)$ 是平面 $α$ 内的一点，则点 $P (1 ， 2 ， - 1)$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知A，B，C三点不共线，O是平面 $A B C$ 外任意一点，若 $\vec{O M} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + λ \vec{O C}$ ，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（）

A、 $λ = \frac{17}{30}$ B、 $λ = \frac{13}{30}$ C、 $λ = - \frac{17}{30}$ D、 $λ = - \frac{13}{30}$

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6. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ，直线 $l$ 过点 $C (1 ， 3)$ ，且 $A ， B$ 两点在直线 $l$ 的同侧，则直线 $l$ 斜率的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 3 = 0$ 与 $l_{2} ： 2 x + (a - 1) y + a + 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、-1或2 B、1或-2 C、-1 D、1

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8. 不论m为何值，直线 $m x - 2 y - 3 m + 1 = 0$ 恒过定点（）

A、 $(- 3 ， \frac{1}{2})$ B、 $(1 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(3 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(3 ， \frac{1}{2})$

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9. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均为 $1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 45^{\circ}$ ， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ，则 $| B D_{1} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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10. 过点 $P (1 ， 2)$ 且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点E为 $A B$ 的中点，点F为 $C D$ 的中点，将菱形 $A B C D$ 沿 $A C$ 翻折，使平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，则异面直线 $E F$ 和 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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12. 已知半径为2的球O有一内接正四面体 $A B C D$ ，则 $\vec{O A} \cdot (\vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-1 C、-4 D、 $- \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 过点 $A (3 ， 4)$ 且与直线 $l ： x - 2 y - 1 = 0$ 平行的直线的方程是.

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14. 在空间直角坐标系中， $A (t ， 1 ， 1 - t)$ ， $B (0 ， t ， 3)$ ，则 $| \vec{A B} |$ 的最小值是.

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15. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间向量的一组基底， $\vec{a}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ 是空间向量的另一组基底，若向量 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 下的坐标为 $(2 ， 3 ， - 1)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ 下的坐标是.

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16. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ，点 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上一点，记 $λ = \frac{A P}{A C_{1}}$ ，当 $∠ B P D$ 为钝角时，实数 $λ$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 设直线l的方程为 $2 x + (k - 2) y - 2 k + 6 = 0$ ，根据下列条件分别确定k的值：

(1)、直线l的斜率为-1；

(2)、直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (m ， n ， - 4)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $| \vec{c} | = 9$ ，求 $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的值.

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19. 已知直线 $l ： 4 a x - 3 y - a + 2 = 0$ .

(1)、求证：无论实数a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)、若直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

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20. 一条光线经过P(2，3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1，1).

(1)、求入射光线的方程；

(2)、求这条光线从P到Q的长度.

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21. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $P A = P D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D$ ， $A B$ 的中点分别是O，G.

(1)、求证： $G O ⊥$ 平面 $P O C$ ；

(2)、求平面 $D P G$ 与平面 $O P G$ 夹角的余弦值.

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22. 如图1，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = 2 A D = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，E是 $C D$ 的中点，将平行四边形 $A B C D$ 沿着 $A E$ 翻折，使平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ （如图2），点G是 $△ A D E$ 的重心，连结 $A C$ ， $B E$ 交于点F.

(1)、求证： $G F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求直线 $G F$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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