重庆市巴南区重点中学2021年指标到校考试数学试卷

试卷更新日期：2021-11-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数2021的相反数是（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列图形是某几届冬奥会图标，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）.

A、 B、 C、 D、

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3. 下列命题中，是真命题的是（）.

A、同旁内角互补 B、有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C、矩形的对角线互相平分 D、多边形的内角和为 $360 °$

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4. “二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关.如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图.在下列选项中白昼时长不足10小时的节气是（）.

A、惊蛰 B、立夏 C、大雪 D、寒露

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5. 如图， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点A， $P O$ 交 $⊙ O$ 于点B，点C在 $⊙ O$ 上，连接 $A C ， B C$ .若 $∠ P = 45 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）.

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $37.5 °$

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6. 下列计算中，正确的是（）.

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} - 3 = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$

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7. 估计 $\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{3})$ 的值应在（）.

A、0到1之间 B、1到2之间 C、2到3之间 D、3到4之间

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8. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点O是位似中心，且 $△ A B C$ 的面积为4.若 $O A ： O D = 1 ： 3$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）.

A、8 B、12 C、20 D、36

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9. 把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼图案，则图案⑧中共有（）.

A、13个三角形 B、19个三角形 C、25个三角形 D、31个三角形

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10. 如图，某同学在山坡坡脚A处时，测得一座楼房的楼顶B处的仰角为 $60 °$ ，沿山坡往上走到C处时，测得这座楼房的楼顶B处的仰角为 $45 °$ .已知 $A C = 20 \sqrt{5} m$ ，且 $A O ⊥ B O$ ，点O、A、C、B在同一平面内，若此山坡的坡度为 $1 ： 2$ ，则这座楼房的高 $B O$ 的值是（）

A、 $(90 + 30 \sqrt{3}) m$ B、 $(90 - 30 \sqrt{3}) m$ C、 $(30 - 30 \sqrt{3}) m$ D、 $(30 + 30 \sqrt{3}) m$

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11. 从-3，-2，-1，0，1，2这六个数中，随机取出一个数，记为m，若m使关于x的函数 $y = (m - 1) x^{2} + m x + 1$ 的图象与x轴有交点，且使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - m + 2 \geq 0 \\ 2 m + x \leq 1 \end{array}$ 有解，则所有满足条件的m的绝对值的和是（）.

A、7 B、5 C、-1 D、-5

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12. 如图， $B C ⊥ x$ 轴，垂足为C， $B A ⊥ y$ 轴，垂足为A，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ 于点D，交边 $B C$ 与点E，且 $B E = 2 C E$ .若四边形 $O D B E$ 的面积为24，则k的值为（）.

A、4 B、6 C、8 D、12

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二、填空题

13. 计算： $2^{- 2} + π^{0} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} =$ .

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14. 据统计，我国累计接种新冠疫苗超过230000000剂次.其中的数据230000000用科学记数法表示为.

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15. 现将背面完全相同，正面分别标有数字0，1，2，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片正面上的数字记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片正面上的数字记为n，则数字m，n之和为奇数的概率为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120 ° ， A B = B C = 6$ .以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，与 $A B$ 的延长线交于点D，则图中阴影部分面积为.

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17. 如图，点E、F分别在矩形 $A B C D$ 的边 $B C 、 C D$ 上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点N.已知 $D F = 6 ， A N = 5 \sqrt{6}$ .若将矩形 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠后，点D恰好与点E重合，则 $△ A B E$ 的面积为.

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18. 某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的 $\frac{9}{2}$ 倍.随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资.该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的 $\frac{3}{26}$ ，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(3 x - y)}^{2} - x (x + 2 y)$

(2)、 $(\frac{5 x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 6 x + 9}{4 - x^{2}}$

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $C F$ 平分 $∠ B C D$ 交 $B D$ 于点F.

(1)、尺规作图：过点A作 $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B D$ 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.

(2)、求证： $A E = C F$ .

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21. 在开展“童心向党”系列活动中，某校举办了一场“党史知识你我知”的知识竞赛，现分别从八年级、九年级各随机抽取了20名学生的成绩（单位：分，满分：100分），相关数据（成绩）整理统计如下：

收集数据：

八年级：92，98，96，93，96，92，60，92，78，92，86，84，81，84，78，92，74，100，64，92.

九年级：93，88，89，96，72，75，95，90，86，95，95，96，100，94，93，68，86，80，78，91.

整理数据：

	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
八年级	2	3	4	11
九年级	1	3	5	11

分析数据：

	平均数	中位数	众数
八年级	86.2	a	92
九年级	88	92	b

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表中的a，b的值；

(2)、已知该校八、九年级各有学生760人，若规定知识竞赛成绩在80分及其以上为优秀，请估计该校知识竞赛成绩为优秀的学生人数；

(3)、根据表中的统计量，你认为哪个年级的知识竞赛成绩的总体水平更好，请说明理由.

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22. 在学习数学的过程中，我们发现了一种很有趣的自然数——“登高数”.定义：设一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，且 $a < b < c < d ， a b c d \neq 0$ ，若 $b c$ 的值能被 $a + d$ 的值整除，则称这个正整数为“登高数”.
例如：1345是“登高数”，因为1，3，4，5都不为0， $1 < 3 < 4 < 5$ ，且 $1 + 5 = 6 ， 3 \times 4 = 12$ ，且12能被6整除，所以1345是“登高数”；2457不是“登高数”，因为2，4，5，7都不为0， $2 < 4 < 5 < 7$ ，且 $2 + 7 = 9$ ， $4 \times 5 = 20$ ，但20不能被9整除，所以2457不是“登高数”

(1)、判断3567，2589是否是“登高数”，并说明理由；

(2)、在四位正整数中，求出百位上的数字比个位上的数字小5的所有“登高数”.

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23. 在学习函数的过程中，我们经历了通过列表，描点，连线来画函数图象，观察分析图象特征，从而概括出函数的性质的过程.下面是研究函数

y = {\begin{array}{l} \frac{1}{x - 1} (x > 0) \\ x^{2} + 2 x + 1 (x \leq 0) \end{array}

，性质及其应用的部分过程.请按要求完成下列各小题.

列表：

x	…	-3	-2	-1	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{2}$	2	3	…
y	…	4	a	0	$\frac{1}{4}$	1	$- \frac{5}{4}$	$- \frac{3}{2}$	2	1	b	…

(1)、请求出表中a，b的值，并在图中补全该函数的图象；

(2)、根据函数图象，写出该函数的一条性质；

(3)、已知函数

y = 2 x - 3

的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接写出不等式

y < 2 x - 3

的解集.

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24. 一时蔬小店某一天用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋.销售时，每斤平菇的平均售价比每斤莴笋的平均售价的2倍少1元，该小店销售完所进的平菇和莴笋后获利60元.

(1)、这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤多少元？

(2)、接着第二天，该小店又用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋，其中，平菇和莴笋的进价与第一天的进价相同.销售时受到一些因素的影响，每斤莴笋的平均售价比第一天的平均售价增加了 $a % (a > 0)$ ，但莴笋的销售量与第一天的销售量相同；每斤平菇的平均售价比第一天的平均售价增加了 $\frac{4}{5} a %$ ，但平菇的销售量比第一天的销售量下降了 $a %$ ，最终第二天的总销售额与第一天的总销售额相等，求a的值.

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 经过三点 $A (- 1 ， 0) 、 B (- 5 ， 0) 、 C (0 ， c)$ .

(1)、求a，b，c的值；

(2)、若点P是直线 $B C$ 下方抛物线上的一点，连接 $P B 、 P C$ ，求 $△ P B C$ 面积的最大值；

(3)、将原抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 向右平移4个单位长度，得到新抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ ，点Q是x轴上方新抛物线上一点，当 $△ P B C$ 的面积取最大值时，在x轴上是否存在点N，使得以点A、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

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26. 如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C D_{1}$ 是由矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转一个角度得到的，点 $A_{1} 、 B_{1} 、 D_{1}$ 分别是点A、B、D的对应点.在旋转过程中，直线 $B B_{1}$ 与直线 $A A_{1}$ 相交于点M.

(1)、当 $∠ B C B_{1} = 100 °$ 时，求 $∠ A B_{1} M$ 的度数；

(2)、在旋转过程中，请你猜想 $A M$ 与 $A_{1} M$ 之间存在的数量关系，并根据所给图形证明你猜想的结论；

(3)、如图②，设点N在边 $A B$ 上，且∠ $B C N = 30 ° ， B C = 1$ ，在旋转过程中，当 $N C + N B_{1}$ 的值取最小值时，请直接写出点 $B_{1}$ 与点M之间的距离.

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