江苏省苏州市高新区新区一中2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-11-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} = - 2$ C、 $a + 2 a^{2} = 3 a^{3}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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2. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 $b$ 满足 $- a < b < a$ ，则b的值可以是（）

A、2 B、-1 C、-2 D、-3

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3. 若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形是（）

A、六边形 B、八边形 C、十边形 D、十二边形

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4. 若代数式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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5. 如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列说法正确的是（）

A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查 B、方差是刻画数据波动程度的量 C、购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件 D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1

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7. 如图 $A B$ 是 $⊙ O$ 切线，点A为切点， $O B$ 交 $⊙ O$ 于点C，点D在 $⊙ O$ 上，连接 $A D ， C D ， O A$ ，若 $∠ A D C = 35 °$ ，则 $∠ A B O$ 的度数为（）

A、25° B、20° C、30° D、35°

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8. 如图，直线 $y = 3 x$ 和 $y = k x + 2$ 相交于点 $P (a ， 3)$ ，则不等式 $3 x \leq k x + 2$ 的解集为（）

A、 $x \leq 1$ B、 $x \leq 3$ C、 $x \geq 1$ D、 $x \geq 3$

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9. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

A、a²+b²＝5c² B、a²+b²＝4c² C、a²+b²＝3c² D、a²+b²＝2c²

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 b x + 2 b^{2} - 4 c$ （其中x是自变量）的图象经过不同两点 $A (1 - b, m)$ ， $B (2 b + c, m)$ ，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则 $b + c$ 的值（）

A、-1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为．

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值是．

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13. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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14. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则 $△$ ABC的面积与 $△$ ABD的面积的大小关系为： $S_{△ A B C}$ $S_{△ A B D}$ （填“＞”，“＝”或“＜”）

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15. 已知 $x + 2 y = 3$ ，则 $1 + 2 x + 4 y =$ .

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16. 一个扇形的面积为 $13 π c m^{2}$ ，半径为6cm，则扇形的圆心角是度．

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17. 在△ABC和△A₁B₁C₁中，已知∠C＝∠C₁＝90°，AC＝A₁C₁＝3，BC＝4，B₁C₁＝2，点D、D₁分别在边AB、A₁B₁上，且 $△ A C D ≅ △ C_{1} A_{1} D_{1}$ ，那么AD的长是.

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18. 如图，A、B两点在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象上，C、D两点在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上， $A C ⊥ x$ 轴于点E， $B D ⊥ x$ 轴于点F， $A C = 2 ， B D = 4 ， E F = 3$ ，则 $k_{2} - k_{1} =$ .

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 3 \tan 30 ° + {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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20. 先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (2 + \frac{3 - a}{a - 1})$ ，其中a=2．

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21. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x + 1 \\ 1 - 3 (x - 1) < 8 - x \end{array}$ 并在数轴上把解集表示出来．

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22. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.

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23. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

(1)、成绩为“B等级”的学生人数有名；

(2)、在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；

(3)、学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

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24. 如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆 $A B$ 和可转动灯杆 $B C$ 和光源 $C D$ 组成，当灯杆 $B C$ 绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变.图2是其示意图，其中 $A B ⊥ A E$ ， $C D // A E$ ，灯杆 $A B = 16 cm$ ， $B C = 36 cm$ .

(1)、当灯杆 $A B$ 与 $B C$ 的夹角 $∠ A B C$ 为150°时，求光源 $C D$ 到桌面 $A E$ 的距离；

(2)、若光源 $C D$ 到 $A E$ 的距离h与圆形照明区域半径r的关系是 $h = \frac{2}{3} r$ ，要使圆形区域半径达到 $51 cm$ ，求灯杆 $A B$ 与 $B C$ 的夹角 $∠ A B C$ 的度数.

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25. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

(1)、A型自行车去年每辆售价多少元；

(2)、该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点 $A^{'}$ 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点.

(1)、已知点M在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 是否为回归抛物线，并说明理由；

(2)、已知点C为回归抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + c$ 的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；

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27. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．

(1)、当⊙O的半径为2时，
①在点M $(\frac{3}{2} ， 0)$ ，N（0，1），T $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ 中，⊙O的“完美点”是▲；

②若⊙O的“完美点”P在直线y= $\sqrt{3}$ x上，求PO的长及点P的坐标；

(2)、⊙C的圆心在直线y= $\sqrt{3}$ x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

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28. 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”.

(1)、（概念感知）
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = 12$ ， $B C = 10$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，试判断 $△ A B C$ 是否是“准黄金”三角形，请说明理由.

(2)、（问题探究）
如图2， $△ A B C$ 是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把 $△ A B C$ 沿BC翻折得到 $△ D B C$ ，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是 $△ A B D$ 的重心，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值.

(3)、（拓展提升）
如图3， $l_{1} / / l_{2}$ ，且直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为3，“准黄金” $△ A B C$ 的“金底”BC在直线 $l_{2}$ 上，点A在直线 $l_{1}$ 上. $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若 $∠ A B C$ 是钝角，将 $∠ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，线段 $A^{'} C$ 交 $l_{1}$ 于点D.
①当 $α = 30 °$ 时，则 $C D =$ ▲ ；

②如图4，当点B落在直线 $l_{1}$ 上时，求 $\frac{A D}{C D}$ 的值.

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