湖南省长沙市长郡教育集团2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-11-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中是有理数的是（）

A、2021 B、 $π$ C、 $\sqrt{2}$ D、0.1010010001…

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2. 根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000剂次，将133801000用科学记数法表示为（）.

A、 $1.33801 \times 10^{7}$ B、 $1.33801 \times 10^{8}$ C、 $13.3801 \times 10^{7}$ D、 $0.133801 \times 10^{9}$

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3. 下列图形一定是轴对称图形的是（）

A、直角三角形 B、平行四边形 C、等腰三角形 D、六边形

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4. 下列计算中，结果是 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 $a^{10} \div a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3}$

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5. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间线段最短 C、三角形的稳定性 D、垂线段最短

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6. 有7名大学生去同一家公司面试，公司只录取3人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个人的面试成绩都不相同），要想让他们知道是否被录取，公司只需公布他们面试成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 要使 $\frac{\sqrt{x - 1}}{3}$ 有意义，则x的取值范围为（）

A、x≤0 B、x≥1 C、x≥0 D、x≤1

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8. 如图，将线段 $A B$ 平移到线段 $C D$ 的位置，则a-b的值为（）

A、4 B、0 C、3 D、 $- 5$

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9. 下列说法正确的是（）

A、4的平方根是2 B、平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C、一组数据中有且仅有一个众数 D、等弧所对的弦相等

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10. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 一元一次方程 $2 x - 1 = 1$ 的解是 $x =$ .

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12. 笔直的公路 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 如图所示， $A C$ ， $B C$ 互相垂直， $A B$ 的中点D与点C被建筑物隔开，若测得 $A C$ 的长为 $6 km$ ， $B C$ 的长为 $8 km$ ，则C，D之间的距离为 $km$ .

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13. 在平面直角坐标系中已知点 $E (- 2 ， 1)$ ， $F (- 1 ， - 1)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为1：2，将 $△ E F O$ 扩大，则点 $E$ 的对应点 $E^{'}$ 的坐标是．

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14. 如图所示，AB $//$ DE，∠1＝130°，∠2＝36°，则∠3等于.

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15. 如图，一次函数y＝k₁x+b的图象与反比例函数y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ 的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k₁x+b＜ $\frac{k_{2}}{x}$ 时，x的取值范围为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 上，过点E作 $E F ⊥ B E$ 交 $C D$ 于F，且 $B C = B E = 10$ ， $F C = F E$ $= 5$ ，点M是线段 $C F$ 上的动点，连接 $B M$ ，过点E作 $B M$ 的垂线交 $B C$ 于点N，垂足为H.以下结论：① $∠ F E D = ∠ E B A$ ；② $A E = 6$ ；③ $A E \cdot E D = C D \cdot D F$ ；④连接 $C H$ ，则 $C H$ 的最小值为 $\sqrt{65} - 5$ ；其中正确的结论是.（所有正确结论的序号都填上）.

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三、解答题

17. 计算： $- 2^{4} - \sqrt{27} + | 1 - 6 \sin 60 ° | + {(2021 π - \frac{1}{2})}^{0}$

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18. 先化简，再求值 $(x - 1) (x - 2) - {(x + 1)}^{2}$ ，其中x= $\frac{1}{2}$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，若 $A D = 6$ ． $\tan C = \frac{3}{2}$ ， $B C = 12$ ，求 $\cos B$ 的值．

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20. 随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图.

移动支付方式

支付宝

微信

其他

人数/人

200

75

请你根据上述统计表和统计图提供的信息.完成下列问题：

(1)、在此次调查中，使用支付宝支付的人数为人，表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为度.

(2)、某天该步行街人流量为10万人，其中30%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数.

(3)、甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请计算三人恰好选择同一种支付方式的概率.

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21. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，点A在 $⊙ O$ 上， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A E}$ ， $B E$ 分别交 $A D$ 、 $A C$ 于点 F、G.

(1)、证明： $F A = F G$ ；

(2)、若 $B D = D O = 2$ ，求弧EC的长度.

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22. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．

(1)、当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m²；

(2)、能否围成矩形花园面积为210m² ，为什么？

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为对角线 $A C$ ， $B D$ 交点， $A F$ 平分 $∠ D A C$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，交 $D C$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A E G \sim △ A D F$ .

(2)、判断 $△ D G F$ 的形状.

(3)、若 $A G = 1$ ，求 $G F$ 的长.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)、点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接 $P A$ ，交直线 $B C$ 于点D.
①若 $\sin ∠ P A B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，试求四边形 $O B P C$ 的面积S；

②设 $△ P D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A D C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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25. 定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对 $(x ， y)$ ，所有这样的有序数对 $(x ， y)$ 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如： $x + y > 3$ 是二元一次不等式， $(1 ， 4)$ 是该不等式的解.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.

(1)、已知 $A (\frac{1}{2} ， 1)$ ， $B (1 ， - 1)$ ， $C (2 ， - 1)$ ， $D (- 1 ， - 1)$ 四个点.请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是 $x - y - 2 \leq 0$ 的解的点是.

(2)、设 ${\begin{cases} x + y - 6 \leq 0 \\ x - 1 \geq 0 \\ y - 2 \geq 0 \end{cases}$ 的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G.
①求G的面积；

②反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；

(3)、设 ${\begin{cases} - 1 \leq 2 x - y \leq 1 \\ - 1 \leq 2 x + y \leq 1 \end{cases}$ 的解集围成的图形为M，直接写出抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x + m + \frac{1}{2}$ 与图形M有交点时m的取值范围.

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移动支付方式	支付宝	微信	其他
人数/人		200	75