湖南省娄底市娄星区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-11-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数2021的相反数是（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、x²+x＝x³ B、（﹣3x）²＝6x² C、8x⁴÷2x²＝4x² D、（x﹣2y）（x+2y）＝x²﹣2y²

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3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年.“3240万”这个数据用科学记数法表示为（）

A、0.324×10⁸ B、32.4×10⁶ C、3.24×10⁷ D、324×10⁸

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4. 如图，是由四个相同的小正方体组成的几何体，则从正面观察该几何体，得到的形状图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 从﹣5， $\frac{3}{7}$ ， $\sqrt{6}$ ，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为无理数的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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6. 对于函数 $y = \frac{2}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、当x＞0时，y的值随x的增大而增大 B、它的图象分布在第一、三象限，是轴对称图形 C、它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称 D、当x＜0时，y的值随x的增大而减小

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7. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x = 3$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - \frac{1}{3}$ B、 $a > - 1$ 且 $a \neq 0$ C、 $a > - 1$ D、 $a > - \frac{1}{3}$ 且 $a \neq 0$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(3，－1)，平移线段AB，使点B落在点B₁（－1，－2）处，则点A的对应点A₁的坐标为（）

A、(0，－2) B、（－2，0） C、（0，－4） D、（－4，0）

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9.
已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A、45° B、35° C、25° D、20°

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 72 °$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点A旋转到 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'} / / A B$ ，则 $∠ B A B^{'} =$ （）

A、 $60 °$ B、 $36 °$ C、 $54 °$ D、 $50 °$

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11. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x=1时，函数有最大值．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若代数式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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14. 一组数据1，1，x ， 2，4，5的平均数是3，则这组数据的中位数是．

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15. 已知直线 $a ∥ b$ ，将一块含 $30^{°}$ 角的直角三角板ABC按如图所示方式放置( $∠ B A C = 30^{°}$ )，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若 $∠ 1 = 18^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图象交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{3} | - {(3 - π)}^{0} + 2 cos 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ .

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18. 先化简，再求代数式（1+ $\frac{3}{x - 2}$ ）÷ $\frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ 的值，其中x是不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ 2 x + 1 < 8 \end{array}$ 的整数解.

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19. 某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道.为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.

根据图表，解答以下问题：

(1)、该校九年级学生共有人；

(2)、学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是；

(3)、请你补充条形统计图；

(4)、根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少有封.

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20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上C点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点D时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F / / C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点G（点C，D， $B$ 在同一水平线上）.（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）.

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21. 为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.

(1)、求A，B两种品牌的足球的单价.

(2)、该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？

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22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

(1)、求证：BE＝CD；

(2)、若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形.

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，过 $A B$ 的中点 $E$ 作 $E C ⊥ O A$ ，垂足为 $C$ ，过点 $B$ 作直线 $B D$ 交 $C E$ 的延长线于点 $D$ ，使得 $D B = D E$ .

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 12$ ， $D B = 5$ ，求 $Δ B D E$ 的 $B E$ 边上的高.

(3)、在（2）的条件下，求 $Δ A O B$ 的面积.

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24. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点D为抛物线的顶点，求 $△ B C D$ 的面积；

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P A B = ∠ A B C$ ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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