高中数学人教A版（2019）高二上学期期中考试模拟试卷

试卷更新日期：2021-11-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 空间直角坐标系中，点 $P (- 1 ， 2 ， - 3)$ 关于平面 $y o z$ 对称的点 $P_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ B、 $(1 ， 2 ， - 3)$ C、 $(1 ， - 2 ， - 3)$ D、 $(1 ， 2 ， 3)$

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2. 若两条直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $3 x - 6 y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、1 D、-1

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3. 直线 $l ： x - \sqrt{3} y \cos θ = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 截得最大弦长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3

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4. 已知空间四点 $A (1 ， 3 ， 4)$ ， $B (3 ， 1 ， 2)$ ， $C (7 ， - 5 ， 3)$ ， $D (- 1 ， 3 ， z)$ 共面，则 $z$ 的值为（）

A、1 B、3 C、11 D、5

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5. 与直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 垂直，并且与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ 相切的直线方程是（）

A、 $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ B、 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ C、 $x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$

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6. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形，
且 $P D = A B = 1$ ， $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心，则 $P G$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的正弦值等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{2 \sqrt{34}}{17}$

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，求 $D$ 到面 $D_{1} E B$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A A_{1} = A B$ ，则 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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二、多选题

9. 直线a的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n}$ ， $\vec{m}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{n}$ ，则直线 $a //$ 平面 $α$ ； B、若 $\vec{a} // \vec{n}$ ，则直线 $a ⊥$ 平面 $α$ ； C、若 $\cos 〈 \vec{a} ， \vec{n} 〉 = \frac{1}{2}$ ，则直线a与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ； D、若 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{1}{2}$ ，则平面 $α$ ， $β$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

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10. 直线y＝kx＋3被圆(x－2)²＋(y－3)²＝4截得的弦长为2 $\sqrt{3}$ ，则直线的倾斜角可能为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： (3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0$ ，( $m \in R$ )．则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 3 ， 3)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1 C、圆 $C$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ D、当 $m = 13$ 时，直线 $l$ 上一个动点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ ， $P B$ ，其中 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(- \frac{16}{9} ， - \frac{4}{9})$

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12. 已知圆 $M ： {(x + \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 1$ ，直线 $l ： y = k x$ ，下列四个命题为真命题的是（）

A、对任意实数 $k$ 和 $θ$ ，直线和圆相切 B、对任意实数 $k$ 和 $θ$ ，直线和圆有公共点 C、对任意实数 $θ$ ，必存在实数 $k$ ，使得直线与圆相切 D、对任意实数 $k$ ，必存在实数 $θ$ 使得直线与圆相切

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三、填空题

13. 直线l：2x-y+4=0与两坐标轴相交于A，B两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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14. 在平面直角坐标系中，已知 $A (2 ， 2) ， B (- 2 ， \sqrt{3} - 1)$ ，若过点 $P (- 1 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 斜率的取值范围是.

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15. 已知圆 $C$ 的圆心 $C (0 ， m)$ ，其中 $m > 0$ ，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切且半径为1，直线 $l$ 过 $(- 2 ， 0)$ 点且倾斜角为45°，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $F$ 在线段 $A D$ 上移动，异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成角最小时，其余弦值为.

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四、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ 和 $A B$ 上动点，且 $A E = B F$ .

(1)、求证： $B_{1} E ⊥ C_{1} F$ ；

(2)、若 $A E = 2 E C$ ，求二面角 $A_{1} - E F - A$ 的平面角的余弦值.

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为2，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影O是 $A C$ 的中点.

(1)、求点 $A$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值.

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19.

(1)、求经过直线 $l_{1} ： x + y - 2 = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x - y - 1 = 0$ 的交点且垂直于直线 $l_{3} ： 2 x + y - 3 = 0$ 的直线方程；

(2)、求过点 $P (- 1 ， 3)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，且与 $y$ 轴相切于点 $(0 ， 1)$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若圆 $C$ 与直线 $l$ ： $x - y + m = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， ▲ ，求 $m$ 的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： $∠ A C B = 120 °$ ；条件②： $| A B | = 2 \sqrt{3}$ .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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21. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，直线 $l ： k x - y - 4 k = 0$ ，当 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，直线 $l$ 与圆 $O$ 恰好相切.

(1)、求圆O方程；

(2)、若 $l$ 被圆O截得弦长为2，求 $l$ 方程；

(3)、若直线 $l$ 上存在距离为2的两点 $M 、 N$ ，在圆O上存在点 $P$ 使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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22. 已知圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4 (a > 0 ， b > 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分別相切于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2$ 与线段 $A B$ 没有公共点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、试讨论直线 $l ： y = k x - 2$ 与圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4 (a > 0 ， b > 0)$ 的位置关系.

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