四川省成都市新都区2021-2022学年高三上学期理数摸底诊断性测试试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、{−2，3} B、{−2，2，3} C、{−2，−1，0，3} D、{−2，−1，0，2，3}

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x - \frac{1}{2} ， x < 1 \\ a^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f [f (\frac{7}{8})] = 8$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} + a_{10} + a_{15} = 30$ ，则 $a_{22} - 2 a_{16}$ 的值为（）

A、-10 B、-20 C、10 D、20

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4. 若 $\tan θ = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (π - 2 θ)$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2022}$ 的值为（）

A、2023 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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6. 下列命题中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，则 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 B、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，则 $f (x)$ 是以4为周期的周期函数 C、若函数 $f (x) = \ln (\sqrt{a + b^{2} x^{2}} + b x)$ 为奇函数，则 $a = e$ （ $e$ 为自然对数的底数） D、若函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} - 1} + m$ 为奇函数，则 $m = \frac{1}{2}$

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7. 设函数 $f (x)$ 为定义在R上的函数，对 $\forall x \in R$ 都有： $f (x) = f (- x)$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ；又函数 $f (x)$ 对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，设 $a = f (\frac{2021}{2})$ ， $b = f (\log_{4} 3)$ ， $c = f (- \frac{1}{4})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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8. 等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ，点 $D$ 为斜边 $B C$ 上的三等分点，且 $\vec{A M} = 2 \vec{A D}$ ，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M B} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{8}{9}$ 或 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $B C$ 边上的中线 $A D$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ B、 $\frac{52 π}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{208 π}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = e^{| x |}$ ， $g (x) = \sin x$ ，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x)$ B、 $y = f (x) - g (x)$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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11. 函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + 26 °) + 10 \cos^{2} (x + 28 °)$ 的值域为（）

A、 $[- \sqrt{19} ， \sqrt{19}]$ B、 $[5 - \sqrt{19} ， 5 + \sqrt{19}]$ C、 $[- \sqrt{34} ， \sqrt{34}]$ D、 $[5 - \sqrt{34} ， 5 + \sqrt{34}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， x > 0 \\ - \frac{1}{2} x ， x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x)$ 满足以下三点条件：①定义域为 $R$ ；②对任意 $x \in R$ ，有 $g (x + π) = 2 g (x)$ ；③当 $x \in [0 ， π]$ 时， $g (x) = \sin x$ .则函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 4 π ， 4 π]$ 上零点的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (2 ， - 2) ， \overset{⇀}{c} = (1 ， λ) .$ 若 $\overset{⇀}{c} ∥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知幂函数y= f(x)的图象过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则曲线y= f(x)在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为

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15. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图中实线所示，图中圆 $C$ 与 $f (x)$ 的图象交于 $M$ ､ $N$ 两点，且 $M$ 在 $y$ 轴上，圆的半径为 $\frac{5 π}{12}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $a^{x} = x^{a} (a > 1 ， x > 0)$ ，有且仅有一个解，令 $h (x) = a^{x} - x^{a} (a > 1 ， x > 0)$ 则下列结论中正确的序号是.（写出全部正确结论的序号）
①. $a = e$ ；

②. $h (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上单调递减；

③. $x = e$ 是 $h (x)$ 的零点；

④. $h (1)$ 是 $h (x)$ 的极小值， $x = e$ 是 $h (x)$ 的极大值点.

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三、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{3} = 4 a_{1} + 4 a_{2}$ ， $S_{6} = 126$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $b_{n} = \frac{2}{\log_{2} a_{2 n - 1} \cdot \log_{2} a_{2 n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. “碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林､节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源(光伏､风电､核能)替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数(万千米)的频率分布直方图，如图.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

(2)、据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？

(3)、该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占

\frac{1}{6}

，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%.根据以上统计情况，补全下面

2 \times 2

列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

	考虑大气污染	没考虑大气污染	合计
新能源汽车车主
燃油汽车车主
合计

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19. 已如三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $O$ 为棱 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C O$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 是等边三角形，且 $A B = A A_{1} ， ∠ A_{1} A B = 60^{\circ}$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B$ 上平面 $A B C$ ，求二面角 $A - A_{1} C - B$ 的余弦值.

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20. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边为 $a ， b ， c$ ，已知 $c \sin A = a \cos (C - \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c \cos B + b \cos C = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为其左右焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $y^{2} = 4 x$ 上存在两个点 $M ， N$ ，椭圆上有两个点 $P ， Q$ 满足 $M ， N ， F_{2}$ 三点共线， $P ， Q ， F_{2}$ 三点共线，且 $P Q ⊥ M N$ ，求四边形 $P M Q N$ 面积的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (m + 1) x + m \ln x$ ， $m \in R$ ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的极值；

(2)、若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [2 ， 4] (x_{1} \neq x_{2})$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) < | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值；

(3)、若函数 $f (x)$ 恰有两个不相等的零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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