四川省巴中市2021-2022学年高三上学期理数“零诊”试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 3) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 3 ， - 1]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[1 ， 3]$

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2. $\frac{3 + i}{1 + i} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题，通过人口普查查清我国人口数量、结构、素质、分布等方面情况，为推动高质量发展提供准确、有力的统计信息攴持.自新中国成立以来，我国已进行了7次人口普查，下图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（）

A、1964年至1982年间人口平均增长率最大 B、1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓 C、具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大 D、男性人数与女性人数的差值逐步减小

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4. 已知命题 $p ： | a | > | b |$ 是 $a^{2} > b^{2}$ 的充要条件，命题 $q ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x} < \log_{2} x$ .下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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5. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ，若 $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{B D}$ 与 $\vec{C E}$ 的夹角为（）

A、30º B、45º C、60º D、135º

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6. 已知 $2 \cos (α - \frac{π}{6}) = \cos (α + \frac{π}{6})$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上，若 $| P F_{1} | = 2 a$ ，且线段 $P F_{2}$ 的中点在 $y$ 轴上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知点 $A (1 ， 0)$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，动点 $P$ 在圆 $O$ 上，点 $Q$ 满足 $\vec{A P} = \vec{P Q}$ ，记动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 与圆 $O$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相离 C、内切 D、外切

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9. 接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自2020年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗､新冠病毒灭活疫苗､重组新型冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者仼选其中一种.若甲､乙､丙､丁4人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{9}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到 $y = sin 2 x$ 的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A D = 2 A B$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ B A E$ 沿 $A E$ 翻折至 $△ P A E$ 的位置（点 $P \notin$ 平面 $A E C D$ ），设线段 $P D$ 的中点为 $F$ ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（）

A、 $C F //$ 平面 $A E P$ B、异面直线 $C F$ 与 $P E$ 所成角的大小恒定不变 C、 $A E ⊥ D P$ D、当平面 $A P E ⊥$ 平面 $A E C D$ 时， $A D$ 与平面 $P D E$ 所成角为 $30^{\circ}$

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12. 关于函数 $f (x) = x + \frac{2}{1 + e^{x}}$ ，有下列4个结论：
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 中心对称；②函数 $f (x)$ 无零点；③曲线 $y = f (x)$ 的切线斜率的取值范围为 $[\frac{1}{2} ， 1)$ ④曲线 $y = f (x)$ 的切线都不过点 $(0 ， 0)$ 其中正确结论的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为.

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14. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $a = 2$ ， $c = 3$ ， $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线在第一象限内交于点 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点.若 $O B / / F A$ ，则 $△ A B F$ 的面积为.

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三、解答题

17. 在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写人政府工作报告，也进一步成为网络热词.为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A组，将“70后与80后”作为B组，并从A､B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整理数据后获得如下统计表：

认知情况年龄段分组	知晓人数	不知晓人数	合计
A组（90后与00后）	75	25	100
B组（70后与80后）	45	55	100.
合计	120	80	200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.010	0.005	0.001
$k$	6.635	7.879	10.828

(1)、能否有99.5%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关？

(2)、以样本的频率作为总体的概率，若从

A

组的90后与00后中随机抽取4人，记4人中知晓“绿色消费”意义的人数为

X

，求

X

的分布列和期望.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{1} = 1$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - n - 1$ .

(1)、证明数列 ${S_{n} + n + 2}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形，且侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $D ， E$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $A_{1} B_{1} ⊥ D E$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $A C = 1$ ， $A B = A B_{1} = 2$ ，求二面角 $B_{1} - D E - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $x = - 2$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 与坐标轴不垂直的直线 $l$ 交 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ， $P$ 为线段 $A B$ 的中点， $E Q ⊥ O P$ 且 $Q$ 为垂足.问：是否存在定点 $H$ ，使得 $Q H$ 的长为定值？若存在，求点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知 $f (x) = x - a e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若对任意 $x > 0$ ， $f (x) + \ln x - x - \ln a \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 ， 1)$ 和直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $a \in R$ ）；以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ + 4 \sin θ$ .设直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点为 $A$ ， $B$ .

(1)、写出圆 $C$ 的直角坐标方程，并求当点 $P$ 为线段 $A B$ 的中点时直线 $l$ 的普通方程；

(2)、当 $α$ 变化时，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x | + | x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足： $a b = a + b + m$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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