辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期数学10月联合考试试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x} \leq 0}$ ，集合 $B = {x | e^{x - 1} > 1}$ ， $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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2. “ $\ln a > \ln b$ ”是“ $\frac{a}{b} > 1$ ”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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3. 已知复数 $z = {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2021} + {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2022}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ =（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (2 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、2

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5. 人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得 $\sin 54 °$ =（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5} - 1}{4}$

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6. 2021年5月11日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到2020年，全国人口总数约为14亿，下列各选项的数字与14亿最接近的是（）（参考数据： $e \approx 2.718$ ， $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ， $\ln 7 \approx 1.9$ ）

A、 $e^{19.11}$ B、 $e^{20.03}$ C、 $e^{21.06}$ D、 $e^{22.11}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x$ ， $g (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ，若对于 $\forall x_{1} \in [a ， a + 1]$ ， $\exists x_{2} \in [0 ， 2 \sqrt{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 4]$ B、 $[\frac{6 - 5 \sqrt{3}}{3} ， \frac{3 + 5 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $[2 - 2 \sqrt{2} ， 1 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $[0 ， 3]$

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8. 已知函数 $f (x) = a (x + \cos x) - e^{x}$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有两个极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， e^{π})$ C、 $(0 ， e^{- π})$ D、 $(e^{π} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、命题 $\exists x < 0 ， x_{}^{2} + x_{} + 1 < 0$ 的否定是 $\forall x < 0 ， x_{}^{2} + x_{} + 1 \geq 0$ B、若复数 $z_{1}^{}$ 、 $z_{2}$ 满足 ${|z}_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、若平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ ，则 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ D、在△ABC中，若 $\tan A \tan B > 1$ ，则△ABC为锐角三角形

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2022} > 0$ ， $a_{2021} + a_{2022} < 0$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、数列 ${S_{n}}$ 是递增数列 C、 $S_{n}$ 的最小值是 $S_{2021}$ D、使得 $S_{n}$ 取得最小正数的 $n = 4042$

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11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（）

A、 $\overset{⇀}{A G} \cdot \overset{⇀}{B C} = 4$ B、 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = - 6$ C、 $\vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ D、 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} = 4 \overset{⇀}{O M} + 2 \overset{⇀}{H M}$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 图像连续，满足 $f (x) - f (- x) = 6 \sin x - 2 x$ ，且 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < 3 \cos x - 1$ 恒成立，则不等式 $f (x) \geq f (x - \frac{π}{3}) - \frac{π}{3} + 3 \sin (x + \frac{π}{3})$ 中的x可以是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、0 C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列 ${a_{n}}$ ，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则 $a_{n} =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 0]$ ， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则 $f (2021) =$

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15. 已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $x \in (0 ， π)$ 上恰有2个极大值点， $ω$ 的取值范围是

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16. 已知正数x、y满足 $x y^{2} (x + 6 y) = 1$ ，当 $x =$ 时， $x + 3 y$ 取得最小值，最小值是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = \frac{1}{6}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若___________，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．
（在① $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ；② $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{a_{n}}$ ；③ $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{a_{n}}}$ 三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ \leq π)$ 的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 图象的对称轴方程和对称中心坐标．

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19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三条边的长度a，b，c是三个连续的正整数（ $a < b < c$ ）．

(1)、若△ABC是直角三角形，且∠ACB的平分线交AB于D，求CD的长；

(2)、若△ABC是钝角三角形，求△ABC的面积．

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20. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 2} - 2 S_{n + 1} = S_{n} - 2 S_{n - 1} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{2 n + 1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、在（2）的条件下，若 $\forall n \in N_{+}$ ， $T_{n} \geq 10 (1 - \frac{1}{a_{n}}) - λ$ ，求 $λ$ 的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x} + 2 e x - e^{2} \ln x$ ．

(1)、求f(x)在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) > 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + 4 a x + \frac{16}{3} a^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 只有1个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，是否存在正整数k，使得关于x的方程 $| f (\sin x) + f (\cos x) | = k$ 有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

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