江苏省盐城、淮安、宿迁、如东等地2021-2022学年高三上学期数学第一次大联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数z满足 $z (1 - i) + 1 = 0$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} + 4 x - 5 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ \ln x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 5]$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(- 1 ， 5)$

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3. 若二项式 ${(\frac{1}{2} - x)}^{n}$ 的展开式中所有项的系数和为 $\frac{1}{64}$ ，则展开式中二项式系数最大的项为（）

A、 $- \frac{5}{2} x^{3}$ B、 $\frac{15}{4} x^{4}$ C、 $- 20 x^{3}$ D、 $15 x^{4}$

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4. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式 $v = V_{0} \ln (1 + \frac{M}{m_{0}})$ .其中， $V_{0}$ 是燃料相对于火箭的喷射速度， $M$ 是燃料的质量， $m_{0}$ 是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知 $V_{0} = 2 km / s$ ，则当火箭的最大速度 $v$ 可达到 $10 km / s$ 时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.

A、 $e^{5}$ B、 $e^{5} - 1$ C、 $e^{6}$ D、 $e^{6} - 1$

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5. 在 $△ A B C$ 中，“ $A < B$ ”是“ $A - B < \cos B - \cos A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} |$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[1 ， 4]$

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7. 已知双曲线C的离心率为 $\sqrt{3}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C的两个焦点，P为C上一点， $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线C的实轴长为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是减函数， $f (2) = 0$ ，则不等式 $f (x - 1) f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 3)$ D、 $(- 2 ， - 1) \cup (2 ， 3)$

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二、多选题

9. 数据显示，全国城镇非私营单位就业人员平均工资在2011年为40000元，到了2020年，为97379元，比上年增长7.6%.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（）
2011-2020年城镇非私营单位就业人员年平均工资及增速

A、2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长 B、工资增速越快，工资的绝对值增加也越大 C、与2011年相比，2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多 D、2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元

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10. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ ， $g (x) = f (x) - f (- x)$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ B、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} x_{2})$ C、 $x_{1} g (x_{1}) + x_{2} g (x_{2}) > x_{1} g (x_{2}) + x_{2} g (x_{1})$ D、 $g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ⩽ \frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2}$

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11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{5} = 35$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ C、 $S_{n} - S_{n - 1} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ， $n \geq 2$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{100}} = \frac{200}{101}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \sin \frac{2 π}{5} x ， - \frac{15}{4} ⩽ x ⩽ \frac{5}{4} \\ | \log_{2} (x - 1) | ， x > \frac{5}{4} ， \end{array}$ 若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ）满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = m$ ，则（）

A、 $0 ⩽ m ⩽ 1$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$ C、 $x_{3} x_{4} - x_{3} - x_{4} = 0$ D、 $x_{3}^{2} + x_{4}^{2} > 8$

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三、填空题

13. 若随机变量 $X ~ B (n ， \frac{1}{3})$ ，且 $E (X) \in N^{*}$ ，写出一个符合条件的 $n =$ .

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14. 直线 $y = x - 1$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且与C交于A，B两点，则 $| A B | =$ .

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15. 已知 $θ \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ， $\sin 2 θ = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos θ =$ .

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16. 现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为 $9 cm$ .车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径 $r =$ $cm$ 时，圆柱的体积最大，且最大值为 ${cm}^{3}$ .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $B C$ ；

(2)、若点D在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D$ ，求 $\sin ∠ D A C$ .

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18. 2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机､睡眠､读物､作业､体质管理作出规定.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

	男生	女生	总计
90分钟以上	80	x	180
90分钟以下	y	z	220
总计	160	240	400

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、求

x

，

y

，

z

的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？

(2)、学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率.

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19. 已知 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项的积，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${T_{n}}$ 的前n项的和，若 $T_{n} + 2 S_{n} S_{n - 1} = 0$ （ $n \in N^{*}$ ， $n ⩾ 2$ ）.

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，M为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、记平面 $A C M$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的交线为l，证明： $l / / A_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - C M - B$ 的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a x (a \in R)$ 其导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f^{'} (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若过点F的直线l交C于A，B两点，线段 $A B$ 的中点为M，分别过A，B作C的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点P，证明：O，P，M三点共线.

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