河南省豫南九校联盟2021—2022学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 15 > 0}$ ， $P = {x | y = \log_{3} (1 - x)}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap P =$ （）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(0 ， 5]$ C、 $[- 3 ， 1)$ D、 $[- 3 ， 1]$

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2. 下列函数中是奇函数，且在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $y = \frac{1}{x} - x$ C、 $y = \log_{2} | x |$ D、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$

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3. 已知 $m \in R$ ，则“幂函数 $f (x) = x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数”是“指数函数 $g (x) = {(2 m - 1)}^{x}$ 为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $\tan α = - \frac{12}{5}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $- \frac{12}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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5. 已知锐角三角形的三边长分别为2，5， $m$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， 7)$ B、 $(\sqrt{21} ， \sqrt{29})$ C、 $(\sqrt{21} ， 7)$ D、 $(3 ， \sqrt{29})$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a \ln x$ 的图象在点 $(1 ， 2)$ 处的切线过点 $(0 ， - 5)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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7. 函数 $f (x) = | \tan (2 x - \frac{π}{3}) |$ 的最小正周期是（）

A、2π B、π C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - a ， x < 2 \\ \log_{2} x ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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9. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 $A B$ 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的 $C$ ， $D$ 两个观测点，并在 $C$ ， $D$ 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 $45 °$ 和 $60 °$ ，且 $∠ B D C = 60 °$ ，则此建筑物的高度为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ 米 B、 $5 \sqrt{3}$ 米 C、10米 D、5米

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象两相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，若对任意的 $x \in (\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{12})$ ， $f (x) < - 1$ ，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$

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11. 已知 $x = 2 \ln 3^{π}$ ， $y = 3 \ln 2^{π}$ ， $z = 2 \ln π^{3}$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x > z > y$ B、 $x > y > z$ C、 $y > x > z$ D、 $z > x > y$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 3 x ， 0 \leq x < 1 \\ x - 2 \ln x ， x \geq 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + (a - 1) f (x) - a = 0$ 有10个不同的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， - 1) \cup {2 \ln 2 - 2}$ C、 $(- 2 ， 2 \ln 2 - 2)$ D、 $(- 2 ， 2 \ln 2 - 2]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{3} (- 2 x + 5) ， x < 2 \\ 2^{2 x - 3} ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则 $a =$ .

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14. $\frac{\sqrt{3}}{\sin 20 °} - \frac{1}{\sin 70 °} =$ .

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15. 若命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} + a x_{0} + 2 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 若函数 $f (x) = e^{x} (- \cos x + a)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 内不存在极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(4 c - b) \cos A = a \cos B$ .

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知命题 $p ：$ 实数x满足 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} < 0 (a > 0)$ ，命题 $q ：$ 实数x满足 $2 a - 3 < x < a + 5$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点，且 $∠ M A N = 45 °$ ， $△ C M N$ 的周长为2，记 $t = \tan ∠ M A B$ .

(1)、求正方形 $A B C D$ 的边长；

(2)、求 $△ A M N$ 面积的最小值.

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20. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、先将函数 $f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，求方程 $g (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的实根之和.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 与 $x = 1$ 的交点在曲线 $y = f (x)$ 上，求实数 $a$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + a \ln (x + 1) (a \in R)$ .

(1)、设 $g (x) = f (x - 1)$ ，若 $g (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意 $x \in (- 1 ， 1)$ ， $f (x) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的值.

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