河南省许昌市2022届高三理数第一次质量检测（一模）试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ \lg (x - 2) \leq 0}$ ， $N = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 3]$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| 2 + \frac{1}{i} | = z (1 + i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知命题 $p ：$ “ $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} > 0$ ”；命题 $q ：$ “ $x < 2022$ ”的一个充分不必要条件是“ $x < 2021$ ”，则下面命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg (p \land q)$

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4. 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ .若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{673}{2021}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{674}{2021}$

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5. 在边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则直线 $M N$ 与平面 $D C A_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $A B = A D$ ， $2 A B = \sqrt{3} B D$ ， $B C = 3 B D$ ，则 $\sin C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$

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7. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量 $v$ （单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式 $v = ω \ln (1 + \frac{m}{M})$ 来表示，其中， $ω$ （单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度， $m$ （单位：吨）表示它装载的燃料质量， $M$ （单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量 $m$ 与火箭自身质量 $M$ 之比 $\frac{m}{M}$ 约为（）

A、 $e^{1.58}$ B、 $e^{0.58}$ C、 $e^{1.58} - 1$ D、 $e^{0.58} - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = 6 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为[-2，7]，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 某校组织甲､乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒､油坊､陶艺､打铁､纺织､插花､竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午､下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）

A、1260 B、1302 C、1520 D、1764

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 2 x + 4 + e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，若 $f (a - 6) + f (a^{2}) > 8$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 $A$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{b}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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12. 设 $a = \frac{4 (2 - \ln 4)}{e^{2}}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{\ln 4}{4}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. ${(2 x - \frac{a}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的系数是-70，则 $a =$ .

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14. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数 $f (x) ：$ （1） $f (x)$ 是偶函数；（2） $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减；（3） $f (x)$ 的值域是 $(1 ， + \infty)$ .则 $f (x) =$ .

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，已知 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = \vec{F C}$ ， $\vec{E G} = \frac{1}{2} \vec{E F}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{E F} =$ .

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 内接于表面积为 $36 π$ 的球中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $P B ⊥ B C$ ， $∠ A P B = 120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\frac{a_{1}}{1} + \frac{a_{2}}{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n - 1}}{n - 1} + \frac{a_{n}}{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1}$ ， $a_{k + 1}$ ， $S_{k + 3}$ 成等比数列， $k \in N^{*}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{k^{2}}}$ 的值.

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18. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、设棱 $B C$ 上靠近 $B$ 的四等分点为 $E$ ，求二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值.

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19. 某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

(1)、某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	1	2	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、假设该省此次高一学生思想政治学科原始分

Y

服从正态分布

N (76.3 ， 25)

．若

Y ~ N (μ ， σ^{2})

，令

η = \frac{Y - μ}{σ}

，则

η ~ N (0 ， 1)

．请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分

C

等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若

η ~ N (0 ， 1)

，

P (η \leq 1.04) \approx 0.85

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $G (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{7}}{4})$ 在椭圆 $E$ 上，椭圆 $E$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、以此椭圆的上顶点 $B$ 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 $B M N$ ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m {(x + 1)}^{2}$ ， $(m \in R)$ .

(1)、选择下列两个条件之一；① $m = \frac{1}{2}$ ；② $m = 1$ ；判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 是否存在极小值点，并说明理由；（其中 $e \approx 2.718$ ）（注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分）

(2)、已知 $m > 0$ ，设函数 $g (x) = f (x - 1) + m x \ln (m x)$ .若 $g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上存在零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）， $M$ 是 $C_{1}$ 上的动点，且动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = 3 \vec{O M}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的参数方程；

(2)、在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $θ = \frac{π}{4}$ 与曲线 $C_{1}$ 异于极点的交点为 $A$ ，与曲线 $C_{2}$ 异于极点的交点为 $B$ ，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | - | 2 x + 3 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) < 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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