海南省2022届高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ， $3^{x} > 2 x$ 的否定是（）

A、 $\neg p$ ： $\forall x > 0$ ， $3^{x} \leq 2 x$ B、 $\neg p$ ： $\forall x \leq 0$ ， $3^{x} > 2 x$ C、 $\neg p$ ： $\exists x > 0$ ， $3^{x} \leq 2 x$ D、 $\neg p$ ： $\exists x \leq 0$ ， $3^{x} > 2 x$

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2. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 1}$ ，若 $M \cap (∁_{R} N) = {x | - 1 < x < 1}$ ，则集合N可能为（）

A、 ${x | x \geq 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | x \leq - 1}$

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3. 若 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - e^{2} \ln x ， 0 < a < e < b$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (a) < f (b)$ B、 $f (a) > f (b)$ C、 $f (a) > f (e)$ D、 $f (e) > f (b)$

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4. 已知 $p ： x > \log_{2} 3$ ， $q ： x > \log_{3} 2$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{x}{e^{x}}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上先递减再递增 C、 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上先递减再递增

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6. 若 $a < 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{2 x + a}{x + 1} < 1$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < 1 - a}$ B、 ${x | x > 1 - a}$ C、 ${x | a < x < 1}$ D、 ${x | x > 1 - a$ 或 $x < - 1}$

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7. 以下四个选项中的函数，其部分函数图象最适合如图的是（）

A、 $y = - x (\cos x + \sin x)$ B、 $y = x (1 - 2 \cos x)$ C、 $y = \sin x - x \cos x$ D、 $y = x \cos (x + π)$

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8. 美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 $f (x) = \frac{P}{1 + a^{k x + b}}$ ( $P > 0$ ， $a > 1$ ， $k < 0$ )的形式.已知 $f (x) = \frac{5}{1 + 2^{k x + b}}$ ( $x \in N$ )描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为 $1m$ ，经过一年，该果树的高为 $2 .5m$ ，则该果树的高度超过 $4 .8m$ ，至少需要（）
附： $\log_{2} 3 \approx 1.585$

A、3年 B、4年 C、5年 D、6年

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a$ 的图象在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处与x轴相切，则实数a的值可能为（）

A、1 B、4 C、0 D、2

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10. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为R，且当 $x \in [0 ， 3]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x^{2} ， x \in [0 ， 1] \\ - f (x - 2) ， x \in (1 ， 3] \end{array}$ ，当 $x > 3$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} f (x - 4)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、任意 $x_{1} ， x_{2} \in R ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 2$ C、 $f (- 10) = - \frac{1}{4}$ D、 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上单调递增

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11. 已知 $x < 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x^{2} - 3 x y < 2 y^{2}$ ，若 $z = \frac{2 x + y}{x} - \frac{2 y}{2 x + y}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 有最大值 B、z没有最大值 C、z有最小值 D、z没有最小值

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12. 已知 $a < 1$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + a$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的两极值点之和等于2 B、 $f (x)$ 的两极值点之和等于-2 C、 $f (x)$ 的两极值之和等于 $4 a - \frac{4}{3}$ D、 $f (x)$ 的两极值之和等于 $2 a - \frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = \frac{1}{x} \sin x$ ，则 $f^{'} (π)$ 的值为.

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14. 已知实数a，b满足 $a b > 0 ， a + b = 2$ ，则 $a - \frac{2}{b}$ 的最大值是.

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15. 已知 $(a + 1) (a - 1) > 0$ ，若关于x的不等式 $(x - \frac{1}{a + 1}) (x - \frac{1}{a - 1}) < 0$ 的正整数解有且仅有1个，则实数a的取值范围是.

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16. 已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的函数，若对任意两个不相等的正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) + f (- x_{2}) > 0$ ，且 $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} + \frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{1}} + \frac{f (x_{2})}{x_{2}}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“W函数”，现有四个函数：① $f (x) = | x - 1 |$ ；② $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ ；③ $f (x) = 2^{x + 1} - 1$ ；④ $f (x) = \ln (| x | + 1)$ .则以上四个函数为“W函数”的是.(填入所有正确的序号)

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | (x - a) (x - 3) > 0} (a \in R)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = R$ ，求a的取值范围.

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18. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 3 x$ .

(1)、若 $x < 0$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) = 6 x + 2$ 的所有实数解构成的集合A.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a + 1) x + a^{2} - 1 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $y = \log_{2} f (x)$ 的定义域为R，求a的取值范围.

(2)、求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 有正数解的充要条件（a满足的条件）.

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20. 已知函数 $g (x) = a \cdot 4^{x} - 2 \cdot 2^{x} + 3 (a \in R)$ ，定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + b) - \frac{1}{2} x$ .

(1)、求实数b的值；

(2)、若 $a \leq 0$ ，函数 $F (x) = g (x) - f (x) - \frac{1}{2} x$ 的负数零点有且仅有一个，求a的取值范围.

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21. 已知 $a \in R$ ， $f (x) = (a + x) e^{x}$ 在 $[- 3 ， + \infty)$ 上是单调递增函数.

(1)、求a的最小值；

(2)、当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式 $f (x) - k e^{2 x} \geq 0$ 成立，求实数k的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = a x^{2} + x \ln x - 2 (a \in R)$ ，且函数 $f (x)$ 的图象在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $l ： 3 x - y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求点P到直线l的距离；

(2)、若任意 $x > 1$ ，都有 $f (x) > (n + x) (x - 1) - 2$ ，求正整数n的最大值.

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