广西桂林市2022届高三上学期理数10月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若曲线 $y = e^{x} - \frac{a}{e^{x}} (a > 0)$ 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[ $\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}$ )，则a=（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、3

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2. 点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上的点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，则△ $P F_{1} F_{2}$ 的周长是（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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3. 如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（）

A、16.32 B、15.32 C、8.68 D、7.68

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4. 已知平面α，直线m，n满足 $m \subset a$ ， $n ⊄ α$ ，则“n⊥m”是“n⊥α”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数f(x)= ${\begin{matrix} - x^{2} + 2 x ， x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x ， x < 0 \end{matrix}$ 若关于x的不等式[f(x)]²+af(x)-b²<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）

A、2 B、3 C、5 D、8

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6. 已知点 $A (0 ， 2)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若 $\frac{| F M |}{| M N |} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $p$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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7. 设命题 $p_{1}$ ： ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式共有4项；
命题 $p_{2}$ ： ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 展开式的常数项为24；

命题 $p_{3}$ ： ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为16.

那么，下列命题中为真命题的是

A、 $\neg p_{2}$ B、 $p_{1} \land p_{2}$ C、 $p_{2} \land p_{3}$ D、 $p_{1} \lor (\neg p_{3})$

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8. 对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) + f (- x_{0}) = 0$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 是曲线 $f (x)$ 的“优美点”.已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x < 0 \\ k x + 2 ， x \geq 0 \end{array}$ ，若曲线 $f (x)$ 存在“优美点”，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 - 2 \sqrt{2}]$ B、 $[2 - 2 \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(- \infty ， 2 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $(0 ， 2 + 2 \sqrt{2}]$

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9. 函数 $f (x) = \lg (| x | - 1)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 圆（x－2）²＋y²＝4关于直线y＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x对称的圆的方程是（）

A、（x－ $\sqrt{3}$ ）²＋（y－1）²＝4 B、（x－1）²＋（y－ $\sqrt{3}$ ）²＝4 C、x²＋（y－2）²＝4 D、（x－ $\sqrt{2}$ ）²＋（y－ $\sqrt{2}$ ）²＝4

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11. 已知 $P$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一个动点， $Q$ 为圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一个动点，那么点 $P$ 到点 $Q$ 的距离与点 $P$ 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5} - 1$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $\sqrt{17} - 1$ D、 $\sqrt{17} - 2$

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二、填空题

12. 已知函数f(x)=x³+ax+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a= ．

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13. 已知 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，若使得 $z = a x + y$ 取最大值的点 $(x ， y)$ 有无数个，则 $a$ 的值等于.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (- 2 ， k)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / (3 \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数k= ．

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15. 对于下列命题：
①已知－1≤x＋y≤3，1≤x－y≤5，则2x－y的取值范围是[1，9]；

②已知a，b为非零实数，且a<b，则a²<b²；

③ $a = \log_{\frac{1}{5}} 3 ， b = \log_{\frac{1}{3}} 5 ， c = {(\frac{1}{5})}^{0.5}$ 的大小关系是a>b>c；

④若不等式2x－1>m(x²－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 $(\frac{\sqrt{7} - 1}{2} ， \frac{\sqrt{3} + 1}{2})$ .

其中正确的命题为.(把你认为正确的都填上)

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 、 $x = \frac{7 π}{8}$ 是其两条对称轴．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (α) = \frac{6}{5}$ ，且 $\frac{π}{8} < α < \frac{3 π}{8}$ ，求 $f (\frac{π}{8} + α)$ 的值．

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17. 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点．

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x + (a - \frac{1}{2}) x^{2} - 2 a x ， a \in R$ ．

(1)、当a<1时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当a=1时，若存在不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 3$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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20. 若数列{a_n}(n≥2)满足|a_k+1-a_k|=1(k=1，2，3，…，n-1)，则称数列{a_n}为M数列．记S(A_n)=a₁+a₂+a₃+…+a_n(n≥2)．

(1)、写出一个满足a₂=1，a₇=0，且S(A₇)>0的M数列{a_n}；

(2)、若M数列{a_n}满足a₁=2，n=2017，证明：M数列{a_n}为递增数列的充要条件为a₂₀₁₇=2018；

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21. 如图，F₁ ， F₂是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)的左、右焦点，直线l：x＝－ $\frac{1}{2}$ 将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 ： 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求 $\vec{F_{2} P} \cdot \vec{F_{2} Q}$ 的取值范围．

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