广东省茂名市五校联盟2022届高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足： $z (2 + i) = \frac{1}{2} - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x - 16 < 0}$ ， $B = {y | y - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[2 ， 8)$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2]$

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3. 抛物线 $x = \frac{4}{3} y^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{3}{16} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 5$ ， $a_{t} = 7$ ， $a_{t + 3} = 10$ ，则其前 $t$ 项的和为（）

A、12 B、22 C、23 D、25

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5. 已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，且 $\sin A + 3 \cos A = - \sqrt{2}$ ，则 $\tan A$ 的值为（）

A、-1或7 B、 $- \frac{2}{3}$ 或1 C、-1 D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，过直线 $l$ ： $y = m (m > 0)$ 上一点Р作圆 $C$ 的切线，切点依次为A，B，若直线 $l$ 上有且只有一点Р使得 $| \vec{P C} | = 2 | \vec{A C} |$ ， $O$ 为坐标原点．则 $\vec{O P} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、-20 B、20或12 C、-20或-12 D、12

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7. 某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示：

其众数 $X_{1}$ ，中位数 $X_{2}$ ，平均数 $\bar{X}$ 的估计值分为，则下列结论正确的是（）

A、 $\bar{X} > X_{2} > X_{1}$ B、 $X_{2} > \bar{X} > X_{1}$ C、 $\bar{X} > X_{1} > X_{2}$ D、 $X_{2} > X_{1} > \bar{X}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且对于任意的 $x_{1} < x_{2} < 0$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，若 $f (m) = f (- n) > 0 (m n < 0)$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $e^{m n} > \frac{| m | + | n | - \ln | m n |}{2}$ D、 $e^{m n} < \frac{| m | + | n | - \ln | m n |}{2}$

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二、多选题

9. 在二项式 ${(1 - 4 x)}^{8}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、第5项的系数最大 B、所有项的系数和为 $3^{8}$ C、所有奇数项的二项式系数和为 $- 2^{7}$ D、所有偶数项的二项式系数和为 $2^{7}$

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10. 在同一平面上，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点（O，P不在直线l上），且 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ$ 的值可能是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的点．则下列结论正确的是（）

A、直线DP与直线 $B_{1} C$ 不垂直 B、直线DP与直线 $B D_{1}$ 垂直 C、当P为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时， $D P // B_{1} C$ D、当P为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时，三棱锥 $P - A B C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{12}$

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12. 已知曲线 $C$ ： $x | x | + y | y | = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $x + y = 0$ 与曲线 $C$ 没有公共点 B、直线 $x + y = m$ 与曲线 $C$ 最多有三个公共点 C、当直线 $x + y = m$ 与曲线 $C$ 有且只有两个不同公共点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 时， $x_{1} x_{2}$ 的取值范围为 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、当直线 $x + y = m$ 与曲线 $C$ 有公共点时，记公共点为 $P_{i} (x_{i} ， y) (i \in N^{*})$ ．则 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ 的取值范围为 $(0 ， \sqrt{2})$

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三、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则其渐近线的斜率是．

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14. 把函数 $y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则实数 $m$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln^{2} x + 4 \ln x - 4}{x}$ ，则其极大值与极小值的和为．

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16. 田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》，话说齐王，田忌分别有上、中、下等马各一匹，赛马规则是：一场比赛需要比赛三局，每匹马都要参赛，且只能参赛一局，最后以获胜局数多者为胜．记齐王、田忌的马匹分别为 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ 和 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3}$ ，每局比赛之间都是相互独立的．而且不会出现平局．用 $P_{A_{i} B_{j}} (i ， j \in {1 ， 2 ， 3})$ 表示马匹 $A_{i}$ 与 $B_{j}$ 比赛时齐王获胜的概率，若 $P_{A_{1} B_{1}} = 0.8$ ， $P_{A_{1} B_{2}} = 0.9$ ， $P_{A_{1} B_{3}} = 0.95$ ； $P_{A_{2} B_{1}} = 0.1$ ， $P_{A_{2} B_{2}} = 0.6$ ， $P_{A_{2} B_{3}} = 0.9$ ； $P_{A_{3} B_{1}} = 0.09$ ， $P_{A_{3} B_{2}} = 0.1$ ， $P_{A_{3} B_{3}} = 0.6$ ．则一场比赛共有种不向的比赛方案；在上述所有的方案中，有一种方案田忌获胜的概率最大，此概率的值为．

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四、解答题

17. 接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．

(1)、求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；

(2)、记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a + 3 c^{n} (a ， c \in R ， c \neq 0 ， c \neq 1)$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $c = \frac{5}{4}$ 且 $b_{n} = \frac{1}{n} a_{n}$ ，问 $n$ 取何值时， $b_{n}$ 取得最小值，并求此最小值．

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19. 在矩形ABCD所在平面内，E为矩形ABCD外一点，且 $A B = 2 A D$ ， $E D = \sqrt{3}$ ， $A E = 3$ ．

(1)、若 $∠ A D E = 60 °$ ，求 $A D$ 的长度；

(2)、若 $∠ D E A = θ$ （ $θ$ 为钝角），当多边形 $A B C D E$ 的面积最大时，求 $\tan θ$ 的值．

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20. 如图，在四棱锥中 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B // C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交点为 $O$ ，且 $P O ⊥ B D$ ， $P A = P B$ ．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A C ⊥ B D$ 且 $A O = 2 O C = 6$ ， $P O = 3$ ，则在线段 $P C$ 上是否存在一点 $E$ ﹐使得二面角 $P - A D - E$ 的余弦值为 $\frac{8 \sqrt{69}}{69}$ ，若存在，求出点 $E$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 y^{2}}{3} = 1$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与椭圆 $C$ 分别交于点 $P$ ， $M$ 和 $P$ ， $N$ ．记直线 $l_{1}$ 斜率为 $k (k \neq 0)$ ．直线 $l_{2}$ 的斜率为 $k^{'}$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 关于直线 $y = x$ 对称，证明： $k k^{'}$ 为定值；

(2)、已知点 $A (2 ， 0)$ ，当 $0 < k < 1$ 时，求 $△ A P M$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - a x$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \ln \frac{a^{2}}{8} + \frac{64 - a^{4}}{16 a^{2}}$ ．

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