广东省花都区2022届高三上学期数学8月调研试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知a，b为实数，且 $\frac{3 + b i}{2 + i} = a - i$ （i是虚数单位），则 $a + b =$ （）

A、2 B、0 C、-1 D、-2

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2. 正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $∁_{U} A \cup B$ B、 $∁_{U} A \cup ∁_{U} B$ C、 $∁_{U} (A \cup B)$ D、 $∁_{U} (A \cap B)$

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3. 已知抛物线 $x^{2} = a y$ 的焦点为F，且 $M (2 ， 1)$ 为抛物线上的点，则 $| M F | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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5. 抛掷两枚硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则（）

A、事件A和B互斥 B、事件A和B互相对立 C、事件A和B相互独立 D、事件A和B相等

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \geq - 1 \\ \ln (- x) ， x < - 1 \end{array} ， g (x) = f (x) - x + a$ ，若 $g (x)$ 存在3个零点，则a的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{1}{e} + 1]$ B、 $(1， \frac{1}{e} +1]$ C、 $[- \frac{1}{e} - 1 ， - 1]$ D、 $[- \frac{1}{e} - 1 ， - 1)$

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7. 现将8张连号的门票按需求分配给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分给剩余的3个家庭，则这8张门票不同的分配方法的种数为（）

A、71 B、96 C、108 D、120

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8. 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C ， P A = A B = 4$ ．已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ C、π D、 $\sqrt{2} π$

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二、多选题

9. 下列不等关系正确的有（）

A、若 $x > y$ ，则 $x^{2} > y^{2}$ B、若 $x > y$ ，则 $\sqrt[3]{x} > \sqrt[3]{y}$ C、若 $x > y$ ，则 $x^{3} > y^{3}$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$

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10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（）

A、中位数为3，众数为3 B、平均数为3，众数为4 C、平均数为3，中位数为3 D、平均数为2，方差为2.4

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0) (| φ | \leq \frac{π}{2}) ， x_{1} = \frac{π}{8} ， x_{2} = \frac{5 π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 两个相邻的极值点，则下列函数中为奇函数的有（）

A、 $f (x - \frac{π}{8})$ B、 $f (x + \frac{π}{8})$ C、 $f (x + \frac{3 π}{8})$ D、 $f (2 x + \frac{3 π}{8})$

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12. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ，a，b为空间中两条互相垂直的直线， $A C$ 所在直线与a，b都垂直，斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴旋转，下列结论正确的有（）

A、当直线 $A B$ 与a成 $30 °$ 角时， $A B$ 与b成 $90 °$ 角 B、当直线 $A B$ 与a成 $45 °$ 角时， $A B$ 与b成 $60 °$ 角 C、当直线 $A B$ 与a成 $60 °$ 角时， $A B$ 与b成 $45 °$ 角 D、直线 $A B$ 与b所成角的最小值为 $30 °$

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三、填空题

13. 当非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足时， $\vec{a} + \vec{b}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x) =$ ．
① $f (x_{1} \cdot x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ②当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f' (x) > 0$

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15. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $a = 4 ， c > b$ ，且满足 $(1 - \cos A) b c = 6$ ．若点D为 $B C$ 中点，则 $| A D |$ 长度的取值范围为．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则 $△ A B F_{1}$ 的周长为；当 $2 \vec{A F_{2}} + \vec{B F_{2}} = 0$ ，直线l的斜率为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + 2 n$ ，在等比数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = a_{1}$ ， $b_{5} = a_{8}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 中去掉 ${b_{n}}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 ${c_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前20项的和．

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18. 某市环保部门对该市市民进行垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：

组别	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
男	2	3	5	15	18	12
女	0	5	10	10	7	13

附：

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、若将问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”．请完成答题卡中的

2 \times 2

列联表．根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“环保关注者”与性别有关？

(2)、若将问卷得分不低于80分的市民称为“环保达人”，从我市所有“环保达人”中随机抽取5人，这5人中男性的人数记为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $a + c = 4 ， (2 - \cos A) \tan \frac{B}{2} = \sin A$ ．

(1)、求b的值；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求 $△ A B C$ 的面积；
① $\sin A = \frac{3}{2} \sin B$ ，② $5 \cos A = 2 b$ ，③ $A + C = 2 B$ ；

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形，且平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $D$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B C_{1} ⊥$ 平面 $D C B_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - D C - C_{1}$ 的余弦值．

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21. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．

(1)、求C的离心率；

(2)、已知点 $A (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0)$ ，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到 $A M ， A N$ 的距离相等．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、证明，对 $\forall n \in N^{*}$ ．都有 $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ ：

(3)、设 $x_{1} 、 x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} x_{2} > 1$ ．

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