广东省佛山市顺德区高中联盟2022届高三上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| $\frac{1}{3}$ ≤x≤5｝，则M∩N=（）

A、｛x|0＜x≤ $\frac{1}{3}$ ｝ B、｛x| $\frac{1}{3}$ ≤x＜4｝ C、｛x|4≤x＜5｝ D、｛x|0＜x≤5｝

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2. 已知复数 $z = \frac{5 + 3 i}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的虚部为4i B、z的共轭复数为1﹣4i C、|z|＝5 D、z在复平面内对应的点在第二象限

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3. 已知 $\tan α = \sqrt{3}$ ， $π < α < \frac{3 π}{2}$ ，那么 $\cos α - \sin α$ 的值是（）

A、 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

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4. “绿水青山就是金山银山”，某城市发起了“减少碳排放行动”，通过增加植树面积，逐步实现碳中和，为调查民众对减碳行动的参与情况，在某社区随机调查了90位市民，每位市民对减碳行动给出认可或不认可的评价，得到如图所示的列联表､经计算 $K^{2}$ 的观测值 $k = 9$ ，则可以推断出（）

认可

不认可

40岁以下

20

20

40岁以上(含40岁)

40

10

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.010

0.005

0.001

$k_{0}$

6.635

7.879

10.828

A、该社区居民中约有99%的人认可“减碳行动” B、该社区居民中约有99.5%的人认可“减碳行动 C、在犯错率不超过0.005的前提下，认为“减碳行动"的认可情况与年龄有关 D、在犯错率不超过0.001的前提下，认为“减碳行动"的认可情况与年龄有关

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5. 已知函数 $y = a^{x - 3} - \frac{2}{3}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $P$ .若点 $P$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则幂函数 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (x ， 3 y - 5)$ ，且 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，若 $x$ ， $y$ 均为正数，则 $x y$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\frac{25}{12}$ C、 $\frac{25}{24}$ D、 $\frac{25}{6}$

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7. $(1 + x^{2}) {(1 - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、－15 B、16 C、15 D、－16

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x^{2} ， x \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{2} > x_{1}$ 时，不等式 $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} - \frac{f (x_{2})}{x_{1}} < 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{12}]$ B、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{12})$ C、 $(- \infty ， \frac{e}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{e}{2}]$

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二、多选题

9. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：

AQI指数值	0~50	51~100	101~150	151~200	201~300	>300
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：

下列叙述正确的是（）

A、这20天中AQI指数值的中位数略高于100 B、这20天中的中度污染及以上的天数占

\frac{1}{4}

C、该市12月的前半个月的空气质量越来越好 D、总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

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10. 已知 $S_{n}$ 是公比q的正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 255$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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11. 已知函数f（x）＝sin2x－2sin²x，给出下列四个选项，正确的有（）

A、函数f（x）的最小正周期是π B、函数f（x）在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 上是减函数 C、函数f（x）的图象关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称 D、函数f（x）的图象可由函数 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，再向下平移1个单位得到

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x | ， x > 0 \\ e^{x} (x + 1) ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) + \frac{1}{16} = 0$ 有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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三、填空题

13. 已知数列 $\sqrt{3} ， \sqrt{7} ， \sqrt{11} ， \sqrt{15}$ ，…，则 $5 \sqrt{3}$ 是该数列的第项.

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14. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC $+ \frac{1}{2}$ c，则角A为．

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15. 下列命题中，正确的命题的序号为.
①已知随机变量服从二项分布 $B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ ；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - p$ ；

④某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X$ ， $X ~ B (10 ， 0.8)$ ，则当 $X = 8$ 时概率最大.

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{3} + 2^{x} + a |$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值是6，则实数 $a$ 的值是.

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四、解答题

17. 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表（单位：人）

优秀

良好

合格

男

180

70

20

女

120

a

30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．

(1)、求a的值；

(2)、若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

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18. 在递增等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 8$ ， $a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式﹔

(2)、设数列 ${\frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{2}$ ．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (x^{2} - x + 1) > 8$ .

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20. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，且 $f (A) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值.

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21. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 $\frac{1}{2}$ 的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以 $\frac{1}{2}$ 的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以 $\frac{1}{2}$ 的概率向右滚下．

(1)、若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

(2)、小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|．
①求X的分布列：

②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

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22. 已知函数 $f (x) ＝ \frac{1}{2} x^{2} + (1 － a) x － a l n x ， a \in R .$

(1)、若 $f (x)$ 存在极值点为 $1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2$

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	6.635	7.879	10.828

	认可	不认可
40岁以下	20	20
40岁以上(含40岁)	40	10

	优秀	良好	合格
男	180	70	20
女	120	a	30