安徽省皖南八校2022届高三上学期理数10月第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 7 x + 10 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 5}$ D、 ${x | 2 < x < 5}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = 1 + i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $(1 + \bar{z}) \cdot z =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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3. “ $| a | \neq 3$ ”是“ $a \neq 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} = (7 ， - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ D、 $- \frac{\sqrt{13}}{13}$

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5. 若 $\cos 2 t = \int_{0}^{t} \cos x d x$ ，其中 $t \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x \cdot 2^{x} - 1 + x}{2^{x} + 1}$ ， $a = f (\lg 3)$ ， $b = f (\ln \frac{1}{2})$ ， $c = f (2^{\frac{1}{3}})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高 $90 m$ ，山高 $160 m$ ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{41}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{9}{16}$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos (12 x + \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到的函数的一个对称中心是（）

A、 $(\frac{π}{18} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{9} ， 0)$ C、 $(\frac{2 π}{9} ， 0)$ D、 $(\frac{37 π}{288} ， 0)$

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9. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 33$ ， $C D = 21$ ， $A D = 14$ ， $B C = 10$ ， $∠ A$ ， $∠ B$ 均为锐角，则对角线 $B D =$ （）

A、5 B、15 C、25 D、30

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x - 1)$ 关于 $(1 ， 0)$ 中心对称， $f (x + 1)$ 是偶函数，且 $f (- \frac{3}{2}) = 1$ .则下列选项中说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 周期为2 C、 $f (\frac{9}{2}) = 1$ D、 $f (x - 2)$ 是奇函数

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11. 已知 $M (\cos α ， \sin α)$ ， $N [\cos (α + \frac{π}{3}) ， \sin (α + \frac{π}{3})]$ ， $P (\sqrt{3} ， 3)$ ，则 $| 2 \vec{P M} - \vec{P N} |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {(3 a)}^{x} - x^{3 a} (a > 1)$ ，当 $x \geq 2 e$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{e}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2 e}{3} ， + \infty)$ C、（1，e） D、 $(1 ， \frac{2 e}{3}]$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} + x - 1 \geq 0$ ”的否定是.

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14. 已知 $\sin (α + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{6}) (- 2 π \leq x \leq 0) \\ | \ln x - 1 | (x 〉 0) \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 恰有4个不同的实数解 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，且 $a < b < c < d$ ，则 $\frac{c d}{a + b} =$ .

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16. 如图，正三角形 $A B C$ 内有一点 $P$ ， $∠ B P C = \frac{π}{2}$ ， $∠ A P C = \frac{5 π}{6}$ ，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于 $D$ ，则 $\frac{| C D |}{| C B |} =$ .

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三、解答题

17. 若平面向量 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (3 ， 3)$ ， $| \vec{b} | = 2$ .

(1)、若 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{58}$ .求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) // (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标.

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18. 已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A ， ω > 0 ， φ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}))$ .其图像相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = 1$ ， $f (\frac{π}{6}) = A$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、把函数 $f (x)$ 图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 中得到函数 $g (x)$ 图像，若 $g (a) = 1$ ，求 $\tan (a - π) + \tan (\frac{π}{2} - a)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{x - a}{x - a - 3}}$ 的定义域为 $A$ ，函数 $g (x) = \frac{2^{x + 1} + 4}{2^{x} + 1}$ 的值域为 $B$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 1$ ， $\sqrt{2} \sin (A + \frac{π}{4}) = b$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} (a - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，都有不等式 $f (x^{2} - m x + m) + f (2 x^{2} - m x + 2) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - e$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的零点存在情况；

(2)、当 $a > 1$ 时，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 - e$ .

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